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黎曼泛函的研究有着很长的历史,而变分问题是微分几何研究中的一类重要问题。本论文研究了n维闭黎曼流形(M,g)上四类曲率泛函的变分问题,计算了泛函的一阶变分和二阶变分公式,并且研究了这类泛函的临界度量的稳定性问题。主要结果有四个方面：1.n≥5时,我们计算了泛函Fa=∫M(σ2-ασ-1)dv(?)制在M1中的一阶变分公式,并且证明了若局部共形平坦的度量g是Fa|M1临界点,则其满足b:=δ2(g)-n-2/n-4aδ1(g)为常数,且若b+n/2(n-1)a2>0成立,则g具有常截曲率。2.Gursky,Viaclosky计算了Ft=V4/n-1∫M(|Ric|2+tR2)dv的一阶变分公式,利用该公式,我们计算了在临界度量处Ft在S2(M)(M上对称的(0,2)型张量场构成的向量空间)的子空间S0上的二阶变分公式。并且我们得到了环面上Ft的临界度量。由上述二阶变分公式,我们证明了对于特殊的t,Ft的二阶变分在S0的子空间上是非负的。3.n≥4时,我们计算了Weyl泛函W=2/n∫M|W|n/2dv的一阶变分公式,并得到了环面上W的临界度量。我们计算了环面上该临界度量处W的二阶变分公式,进而证明了S3(1)×S3(1)上的标准度量是严格稳定的。4.我们给出了泛函L(p)=V2p/n-1∫Lddv(1≤p<n/2)的一阶变分公式的新证明,其中Lp表示p-th Gauss-Bonnet曲率：p=2时,我们计算了在临界度量处L(2)在S0上的二阶变分公式,利用该公式,我们证明了在球面的标准度量go处,L(2)在S0(g0)上的二阶变分非正。我们也考虑了泛函L(p)限制在共形类[g]上的变分问题,我们计算了L(p)|g]在临界点处的二阶变分公式,利用该公式,我们证明了在球面的标准度量g0处,L(p)|[g0]的二阶变分是非负的。