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1.设模n(n≥3)存在原根，A表示模n原根中不大于B的集合，其中n5/6logn≤B＜n，以N表示同余方程x1x2≡x3x4(modn)在集合A中的解数。证明了以下定理：定理1.1同余方程x1x2≡x3x4(modn)在集合A中的解数N=B4ψ4(ψn))/n4ψ(n)+O(16()(ψ(n))B3ψ4(ψ(n))√nlong)/n3ψ2(n)).
2.设n为任意整数且n＞2，定义N1(n)=n∑a=1′n∑b=1′n∑c=1′n∑d=1′a2bcdN′1(n)=n∑a=1′n∑b=1′n∑c=1′n∑d=1′a2bcdab=cd(modn)ab≡-cd(modn)N2(n)=n∑a=1′n∑b=1′n∑c=1′n∑d=1′a2b2c2dN′2(n)=n∑a=1′n∑b=1′n∑c=1′n∑d=1′a2b2c2dab≡cd(modn)ab≡-cd(modn)其中n∑′ad表示对n的简化剩余系求和，利用特征和方法，得到了以下结果：定理2.1对任意整数n＞2，N1(n)=1/24n5ψ3(n)+5/144n4ψ3(n)∏pα‖n(p+1)3/p(p2+1)-1/p3α-1/1+1/p+1/p2+1/48n4ψ2(n)∏p｜n(1-p)+O(n6exp(41nn/1n1nn))N′1(n)=1/24n5ψ3(n)-5/144n4ψ3(n)∏pα‖n(p+1)3/p(p2+1)-1/p3α-1/1+1/p+1/p2+1/48n4ψ2(n)∏p｜n(1-p)+O(n6exp(41nn/1n1nn))定理2.2对任意整数n＞2，N2(n)=1/54n7ψ3(n)+5/144n6ψ3(n)∏pa‖n(p+1)3/p(p2+1)-1/p3a-1/1+1/p+1/p2+1/36n6ψ2(n)∏p｜n(1-p)+O(n8exp(41nn/1n1nn))，N′2(n)=1/54n7ψ3(n)-5/144n6ψ3(n)∏pα‖n(p+1)3/p(p2+1)-1/p3α-1/1+1/p+1/p2+1/36n6ψ2(n)∏p｜n(1-p)+O(n8exp(41nn/1n1nn))。
3.基于因数分解问题和离散对数问题求解的困难性，提出了两个数字签名方案：
1)一个新的数字签名方案，其安全性得到两大难题FP和DLP的支持；
2)一类新型(tj，t,n)门限群签名方案，该类群签名方案与一般的群签名方案相比具有如下特点：(1)各签名者可具有不同的权力；(2)可通过灵活设置参数得到满足不同应用需求的解决方案。