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鞍点问题广泛来源于许多科学和工程应用领域,例如偏微分方程的混合有限元近似,图像重建和配准以及约束优化等.鞍点问题是一类大规模稀疏线性系统,其求解是科学和工程计算的关键问题之一.因此,研究求解鞍点问题的有效数值解法具有十分重要的理论意义和实际应用价值.由于鞍点问题系数矩阵往往具有不定性和病态等特点,目前对其求解主要采用基于系数矩阵分裂及其特殊结构等的迭代法和预处理技术.本文对鞍点问题的迭代方法和预处理技术进行了深入的研究,提出了几种新的求解鞍点问题的迭代法和预处理子.主要研究工作如下:1.研究了求解对称鞍点问题的逐次超松弛(SOR)型迭代法.通过使用参数加速技术和构造新的矩阵分裂,提出了广义加速SOR(GASOR)和修正ASOR(MASOR)迭代法,降低了ASOR迭代法中两个迭代格式之间的参数相关性,提高了其收敛速度.并从理论上分析了这两种新迭代法的收敛和半收敛性质.与一些同类迭代法相比,数值实验结果表明新方法具有更快的收敛速度.2.研究了求解Hermitian鞍点问题的Hermitian和反Hermitian分裂(HSS)型迭代法.将参数化预处理HSS(PPHSS)迭代法第一步迭代中的系数矩阵构造为块下三角矩阵,提出了改进的PPHSS(IPPHSS)迭代法,克服了PPHSS迭代法的第一步迭代格式未使用最新迭代信息的缺点,提高了其收敛速度.其次通过结合IPPHSS和加速HSS(AHSS)迭代法且对其参数进行合适处理,构造了修正PHSS(MPHSS)迭代法,克服了未能给出IPPHSS迭代法的理论最优参数的缺点且进一步提高了其计算效率,并给出了MPHSS迭代法的理论最优参数和实际参数表达式.数值实验结果表明所提出迭代法比同类方法更有效.3.研究了求解非Hermitian鞍点问题的Uzawa型迭代法.将单步HSS(SHSS)迭代法和Uzawa迭代法相结合,并对Uzawa迭代法的第二步迭代使用矩阵预处理和参数加速技术,提出了广义Uzawa-SHSS(GU-SHSS)迭代法,克服了Uzawa-HSS迭代法的每一步迭代中需要求解一个位移反Hermitian线性系统而导致其计算量较大的缺点.随后分析了GU-SHSS迭代法中参数的收敛和半收敛区间.数值实验结果表明求解具有Hermitian占优(1,1)块鞍点问题时,新方法优于一些同类方法.4.研究了非对称鞍点问题的HSS-based预处理子.通过构造双参数变异正定反Hermitian分裂(DPSS)迭代法,并对其导出的预处理子使用松弛消项技术,设计了广义变形DPSS(GVDPSS)预处理子,避免了需要均衡VDPSS预处理子与鞍点问题系数矩阵的差矩阵中参数的问题.分析了GVDPSS迭代法的收敛性,以及GVDPSS预处理矩阵的谱分布和最小多项式阶数的上界,并给出了GVDPSS预处理子的计算过程和参数选取方法.数值实验结果表明新预处理子比一些同类预处理子具有更好的数值表现.5.研究了非对称鞍点问题的位移分裂类预处理子.基于广义位移分裂(GSS)预处理子和改进位移分裂(MSSP)预处理子,提出了包含已知的几类位移分裂类预处理子的参数化GSS(PGSS)预处理子,提高了GSS和MSSP预处理子的计算效率.对于非对称鞍点问题,首次分析了位移分裂类预处理矩阵的特征值分布.并讨论了PGSS迭代法和PGSS预处理子参数的选取.数值实验结果表明所提出迭代法和预处理子比一些已有的迭代法和预处理子更稳定有效。