本文主要研究了映射级数向量序列赋值收敛及矩阵变换等问题.　　1．简要地介绍了与本文相关或相近的研究领域的发展过程及其现状.　　2．对于Banach空间X上的古典向量序列空间lp(X)(p＞0)、l∞(X)及c0(X)，本文分别定义了一类重要子集：一致耗尽集；本性有界集；一致消失集.设λ(X)∈{lp(X),l∞(X),c0(X)}(p＞0)，M[λ(X)]为λ(X)的上述子集构0成的集族.利用M[λ(X)]，我们得到了映射级数的λ(X)-赋值收敛的最强意义：对任意的准范空间E及{Aj}真包含于EX，映射级数∑Aj(j=1,∞)的λ(X)-赋值收敛即∑Aj(xj)(j=1,∞)对每个(xj)∈λ(X)收敛等价于存在一些Σ真包含于2λ(X)使得S∈Σ时∑Aj(xj)(j=1,∞)关于(xj)∈S一致收敛，如λ(X)的有限子集族,λ(X)的全有界子集族等，M[λ(X)]恰好就是这种Σ中最大的.对λ(X)-赋值收敛的映射级数∑Aj(j=1,∞)及S真包含于λ(X)，判断∑Aj(xj)(j=1,∞)是否关于(xj)∈S一致收敛显然有重要的理论意义和应用前景.本文结论对λ(X)∈{lp(X),l∞(X),c0(X)}(p＞0)找出使∑Aj(xj)(j=1,∞)关于(xj)∈S一致收敛的全部S真包含于λ(X)，其理论意义实属重要，应用前景也明显.特别是，本文结论完全去掉了通常对映射的线性限制，其理论意义重大又大大增加了应用的可能性.　　在对映射（线性映射为特例）作成的级数与矩阵的研究中，李容录给出了典型的有效方法，得到有关映射级数的一个非常抽象、非常基本和极具普遍性的命题并利用它开发出一种拓扑学方法，竟然获得了局部凸空间不含c0的鲜明刻划.这充分说明映射级数的研究有实实在在的应用.本文结果是映射级数理论的重要组成部分.　　3．对于向量序列空间λ(X)∈{lp(X),l∞(X),c0(X)}(p＞0)，M[λ(X)](分别代表一致耗尽集族、本性有界集族和一致消失集族.)是λ(X)中一个较大的子集族，它包括了λ(X)的全部全有界集和许多非全有界集.于是本文得到如下结论：首先，由Orlicz-Pettis定理及映射级数的λ(X)-赋值收敛的最强意义，对于λ(X)-赋值收敛的映射级数而言，在λ(X)上逐点弱收敛当且仅当在λ(X)的每个全有界集上一致收敛；其次，对于序列对偶空间[λ(X)]βY（它是通常的Kothe-Toeplitzβ对偶空间λ(X)β的实质性扩张），给出了[λ(X)]βY中点列在λ(X)上逐点收敛的刻划.再次，利用李容录的新泛函分析基本原理，给出了由解剖映射（它包括了全部线性映射和更多非线性映射）序列构成的[λ(X)]βY中点列在λ(X)上逐点收敛的更强内涵.这些结论实质上是抽象对偶系统中关于映射级数向量序列赋值收敛的一些不变性结果，是不变性理论的重要组成部分.　　4．对于Banach空间X上的一类经典向量序列空间bv0(X)(bv0(X)代表收敛于零的有界变差向量序列全体)，本文确定了一类重要的子集称为一致有界变差集，其全体记为Μ[bv0(X)]，它包括了bv0(X)的全部全有界集及许多非全有界集.对于向量序列空间λ(X)∈{lp(X),l∞(X),c0(X),bv0(X)}(p＞0)，M[λ(X)]分别代表一致耗尽集族、本性有界集族、一致消失集族和一致有界变差集族.利用Antosik-Mikusinski基本矩阵定理及M[λ(X)]，对{f∈YX:f(0)=0}中映射矩阵(fij)i,j∈□，本文获得了一系列矩阵变换定理，给出了矩阵族(λ(X),c(Y))的刻划.　　1993年，李容录和Swartz获得了非线性矩阵变换定理，打破了一百年来只研究线性算子矩阵（从而矩阵变换也是线性变换，又标量矩阵也是线性变换）的局限性,从而开辟了非线性矩阵变换研究的新领域，这也是今后矩阵变换理论的一个主要研究内容.本章的结果是李容录和Swartz研究成果的补充和完善，有着重要的理论与实际意义.　　本文的所有结果都是处理映射级数，但所有结果中所涉映射都不必是线性的.这是本文结果的两个最大理论价值之一，也是对应用前景的最明显的扩大.另一个最大理论价值就是求得了映射级数向量序列赋值收敛的最强内涵.