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拟共形映射是共形映射的推广。由于它与Klein群、复解析动力系统以及黎曼曲面等领域的密切关系，从而成为复分析中的一个热门的研究领域。
本文主要研究拟共形映射与拟圆、John 圆和 Apollon度量的相关问题。
文中利用内距离λ<,D>及构造的关于区域D的边界aD的反射R<,D>得到了John 圆与拟圆的必要条件；并证明D R<2>是John圆当且仅当D具有John 可分解性质；D R<2>是拟圆当且仅当对于任意的z<,1>,z<,2>∈aD，存在常数 c≥1，使得c/1λD(z<,1>,z<,2>)≤λ<,D>*(<,1>,z<,2>)≤cλ<,D>(<,1>,z<,2>)。
本文证明了R中真子域D上的Apollon度量a<,D>是拟共形映射的拟不变量；R中严格一致域是拟共形不变的；R<2>中的Jordan 域D是拟圆当且仅当D是严格一致域。作为应用，我们进一步得到了Apollon边界条件、拟共形映射和局部Lipschitz映射之间的关系。
本文研究了在区域G R上的两个广义双曲度量j
<,G>和δ
<,G>，得到了度量j
<,G>和δ
<,G>的Gromov双曲性；对G R <,G>和δ <,G>的等距变换是M bius变换。对于后者，G应满足Card aG≥2。