本学位论文的第一部分研究了起源于经典抽象代数的拓扑群可约性问题.关于该问题著名拓扑学家Arhangel’skii和Tkachenko在专著[4]中提出了一个公开问题.对于离散情形,我们证明了整数群是可约的,否定回答了该公开问题.对于非离散情形,给出了若干类可约拓扑群,特别证明了实数加法群以及有理数加法群关于通常拓扑均是可约的.本学位论文的第二部分研究群拓扑格的gap问题.设G是一个抽象群,G上的所有拓扑群拓扑构成了一个完备格.我们称之为G的群拓扑格.关于群拓扑格的研究一直是拓扑群领域的一个核心问题,其中的一个重要的研究对象就是极小拓扑群,这类拓扑群的研究已经有数十年的历史.我们引入并研究了给定群上群拓扑格的一对特殊对象——gap,gap同时推广了极小和极大拓扑群概念.我们系统地研究了群拓扑格中的gap,刻画了阿贝尔群上局部紧群拓扑的前置与后继.给出了局部紧群前置的精确估计,给出了紧群存在后继的充分必要条件,结果表明紧群存在后继完全由群的代数结构决定.利用gap引入了比极小群更一般的一类拓扑群——下连续拓扑群,为了研究下连续拓扑群,我们引入了m-正规子群的新概念,证明了m-正规子群与李群有密切的关系.利用m-正规子群我们深入研究了下连续拓扑群的诸多性质,特别地给出了稠密子群下连续的准则.作为下连续准则的一个应用,我们解决了O.Alas等人于2006年提出的一个公开问题.本学位论文的第三部分,我们研究局部极小群的乘积和商.我们证明了任意一个有界无限阿贝尔群G满足|G|<2ω,那么G上不存在非离散的局部极小群拓扑.作为推论给出Au?enhofer等人于2011年,以及Dikranjan与Megrelishvili于2014年提出的两个公开问题的否定回答.对于局部极小群的乘积我们给出了著名的Stoyanov定理的局部情形:G是完全局部极小群当且仅当G与赋予了任意一个p-adic拓扑的整数加群的积是局部极小群;证明了MAP局部紧群的乘积的一个闭子群是局部紧的当且仅当它是局部紧的,解决了Dikranjan和Morris 2001年提出的一个猜想.对于局部极小群的商我们证明了n维欧氏群Rn的稠密子群是局部q-极小群当且仅当它是可除群,同时给出了圈群T的子群是局部q极小群的完全刻画.自从Dikranjan和Morris 2001年提出局部q-极小群的概念后,关于局部q-极小性准则的存在性一直是一个公开问题.我们证明这种形式的准则不存在,同时引入局部q*-极小群的概念,给出了局部q*-极小性准则,表明局部q*-极小性是比局部q-极小性更合适的全极小性的局部化的定义.