本文主要研究了自变量分段连续微分方程数值解的稳定性和振动性。主要研究内容包括：第一章，概要地介绍了自变量分段连续时滞微分方程的研究目的和意义，以及近些年来在该领域的研究现状。这类方程广泛存在于应用科学的各个领域中，其数值解的稳定性分析具有重要的理论价值和实际意义。振动性的研究是时滞微分方程定性理论研究的一个重要方面，而时滞微分方程又可以刻画生活中的许多模型，因此，研究时滞微分方程的振动性是很有必要的。第二章，针对分段连续时滞微分方程构造出Rosenbrock方法的计算格式，并将该方法应用于具体的分段连续时滞微分方程，讨论得到数值解渐近稳定的充分条件，同时考虑解析解的渐近稳定性条件，加以改进，得到最后的结论。然后利用特征方程的方法对Rosenbrock方法进行分析，最后得到Rosenbrock方法保持数值解振动性的充要条件。第三章，将分离变量法应用于分段连续抛物型微分方程，进而得到解析解的稳定性条件，在此条件下，针对具体的纯量抛物微分方程的Crank-Nicholson差分格式进行分析，得出关于方程参数的稳定性条件。对于每一部分的讨论，都给出了相应的数值算例，这些算例验证了理论上推得的结论的正确性。