分形理论作为非线性科学中的一支新军,其研究对象不但包括不光滑、不可微的几何形状,而且涉及非线性系统中产生的相关性,主要研究方法是通过分析其维数、多重分形谱、相关指数等特征参数进行特征考察.来文对上述分形特征参数展开研究,包括具有正Lebe sgue测度自相似集的性质、信号变换对多重分形谱的影响、除趋势波动分析方法的基本特征、数据的噪声处理等.本文组织结构如下：第一章简要介绍多重分形谱理论与除趋势波动分析(DFA)方法的产生背景与研究现状以及这两种理论之间的关系,并且给出本文的主要结果.第二章讨论R1上具有正Lebe sgue测度的自相似集是否包含一个区间的问题,证明了下面两种情况时,集E包含一个区间当且仅当E具有正Lebesgue测度：(1)E(f1,f2)是R1上自相似集,且fi(x)=cix+ei,ci∈(0,1),ei∈R1,i=1,2；(2)E=E(c,Ψ)是R1上关于fi(x)=cx+cei,c∈(0,1),ei∈ψ,i=1,2,...,m的自相似集,假定Ψc,∞是一致离散的,但Ψc,∞上不同的扩张允许相等.第三章研究的是多重分形谱的性质.对于多重分形级联模型产生时间序列,给出了多项式变换后的Holder指数极大值和极小值,研究了多项式变换和对数变换对多重分形谱的影响,并严格证明了线性变换不改变任意分形数据的多重分形谱.此外,来章研究了多项式趋势、周期性趋势以及指数趋势对多重分形潜的影响.第四章是对除趋势波动函数分析方法(DFA)的算法进行研究.本章引入了局部波动函数的概念,证明了数据标准化不影响DFA指数的计算结果,分析了数据测量精度对DFA指数的影响.此外,提出了时间延迟DFA方法,并证明了平稳过程时间序列的DFA波动函数与时间延迟DFA波动函数依概率相等.第五章的研究对象是除趋势交叉波动方法(DCCA).DCCA方法作为DFA方法的推广,可以测量多组数据的交叉相关性.通过假设{xi}与{yi}为高斯噪声过程,{xi}i=1n与{yi}i=1n为该过程的时间序列,结果发现αxy≤α=max(αx,αy),其中,αx,αy分别为{xi}i=1n与{yi}i=1n的相关指数,αxy是{xi}i=1n与{yi}i=1n的交叉波动相关指数.第六章提出了基于混沌理论和奇异值分解技术的数据去噪方法.通过将混沌理论中相空间重构原理引入奇异值分解技术中,实现分形数据的噪声消除,本文称之为混沌奇异值方法(CSVD)将CSVD方法进行实证分析表明,它不仅能够恢复原始数据DFA指数,而且也能够提取原始数据的DCCA特征.第七章,我们总结了本文的主要结果,同时对进一步可能的研究方向进行了展望.