【摘 要】
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本文基于Maple、Mathematica和Matlab三类符号计算软件平台,利用调制不稳定性分析、广义Darboux变换和Hirota双线性方法,研究了几类非线性可积系统的局域波及相互作用解,并分析了相应的动力学特征.主要开展三个方面的工作:高阶非线性Schr¨odinger方程的调制不稳定性分析、高阶怪波解及态转换;广义耦合Fokas-Lenells方程的无穷多守恒律、调制不稳定性分析及不同类
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本文基于Maple、Mathematica和Matlab三类符号计算软件平台,利用调制不稳定性分析、广义Darboux变换和Hirota双线性方法,研究了几类非线性可积系统的局域波及相互作用解,并分析了相应的动力学特征.主要开展三个方面的工作:高阶非线性Schr¨odinger方程的调制不稳定性分析、高阶怪波解及态转换;广义耦合Fokas-Lenells方程的无穷多守恒律、调制不稳定性分析及不同类型局域波的相互作用解;高维非线性系统的高阶局域波及相互作用解.具体研究内容如下:第一章,重点介绍了非线性局域波、调制不稳定性分析、经典Darboux变换方法、广义Darboux变换方法和Hirota双线性方法的相关背景和研究现状,并简要概述了本论文的选题和主要结果.第二章,研究了无穷阶非线性Schr¨odinger方程族的调制不稳定性分布特征,获得了调制不稳定区域划分与高阶色散项之间的内在联系.通过广义Darboux变换构造了六阶非线性Schr¨odinger方程的高阶怪波,并分析高阶色散项对怪波解频谱、波宽及振幅的影响.进一步给出了怪波与W型孤子之间态转换的条件及解对应的光谱图.特别地,验证了谱分析和调制不稳定性分析所得结果的一致性.第三章,研究了广义耦合Fokas-Lenells方程的调制不稳定性分布特征,发现其增益函数与背景振幅、背景频率、扰动频率及物理参数的内在联系,且调制不稳定区域面积随背景振幅增大而减小.从谱问题满足的Riccati型方程出发,得到了方程的无穷多守恒律.通过广义Darboux变换获得了高阶怪波及其分别与亮暗孤子和呼吸子的相互作用解,并且发现这些局域波的结构都是参数可控的.第四章,研究了3+1维Hirota双线性方程、3+1维广义Jimbo-Miwa方程和3+1维非线性演化方程的局域波及相互作用解.首先,基于Hirota双线性方法结合长波极限和参数复化技巧,获得了3+1维Hirota双线性方程的一阶呼吸子、块解和线怪波,进一步得出这些解的相移、传播方向、形状和能量都是参数可控的;然后,还分别研究了3+1维广义Jimbo-Miwa方程和一个非线性演化方程的亮暗高阶局域波及相互作用解,包括二阶呼吸子、二阶线怪波以及孤子、呼吸子、块解和怪波四类解的两两相互作用情况,并结合图像生动刻画了相关解的动力学特征.第五章,应用Hirota双线性方法研究了3+1维Kudryashov-Sinelshchikov方程的亮暗高阶有理解和N波共振解.通过引入多项式函数,得到了亮暗两种结构的怪波型有理解和W型有理解.通过对一至三阶有理解的分析,发现了有理解的阶数与极值的对应关系.再引入两个多项式函数与第一个多项式进行组合,不仅可获得上述类型解,还可通过参数调控实现高阶怪波型或W型有理解相应裂变为多个一阶怪波型或W型孤子的组合结构.在特定约束和色散关系下,得到了该方程的N波共振解,包括亮-聚变、暗-聚变、亮-裂变和暗-裂变共振解.第六章,对全文进行简要总结,并对后续研究工作做了进一步展望.
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