期权理论是20世纪世界经济学领域最伟大的发现之一。期权理论研究的重点在于两个方向：一个方向是研究在不完备市场条件下，即放松期权定价中关于“完备市场”的假设，如何确定期权价值问题；另一个方向是如何利用期权理论进行分析和决策，满足不断变化的市场投资需要。 本文主要研究不完备市场下的定价，以股票价格随机波动率不为常数的情形作为主要研究对象。针对随机波动率模型下美式期权定价的复杂性，本文在已有的欧式期权定价公式下，利用二叉树与随机波动率矩阵的结合，当股票价格收益波动率服从马尔可夫随机过程时，实际波动率σ下美式期权价格是随机状态波动率下价格的加权和，其权重可以由波动率矩阵算出，并且给出了对应思想的算法，最后通过数值算例进一步说明了算法的有效性。文章的最后一部分就当前的研究前沿，总结了随机利率以及有交易费用下的期权定价。