偏微分方程能用于描述很多工程、物理、经济学、生物学等领域的现象.这些微分方程通常是很复杂且不存在解析解的,因此只能借助于数值计算的手段来求得数值解.于是,寻求一种具有高性能、鲁棒性的数值算法成为了科学计算领域中非常热门的一个课题.偏微分方程经过离散后往往得到一个线性方程系统或者非线性方程系统.因此本文着重研究求解非线性方程系统F(x)=0(F:Rn→Rn)的高性能算法.本文首先介绍了一般的求解非线性方程系统的牛顿算法和求解线性系统的Kr-ylov子 空间迭代方法.接着把牛顿 算法和Krylov 子空间技术进行组合得到 Newton-Krylov方法,这里由于在每一步牛顿迭代的过程中,都需要求解雅可比线性方程组,而相应的雅可比矩阵通常是病态的、大型稀疏的且非对称的,直接求解此线性系统非常消耗计算机内存资源且效率很低甚至无法求解.基于这些原因,我们使用了预条件子的技术来加速求解线性系统的过程.预条件子的构造与选择也决定着计算的效果,它涉及到区域分解的方法,本文使用了 Schwarz预条件子,并与上述方法结合在一起得到了本论文的主要研究的Newton-Krylov-Schwarz算法.其次,针对一类在工程中具有广泛应用的变分不等式问题,作者还提出了半光滑的Newton-Krylov-Schwarz算法.该方法使用了非线性互补函数,将变分不等式问题转化为非线性方程组问题.最后针对一类非稳态方程问题,作者提出了全隐格式的Newton-Krylov-Schwarz算法,它具有允许较大时间步长的优点.对于上述提到的算法,本文均执行了一系列的数值实验,计算结果表明这些算法是行之有效的.