近十年来凝聚态物理的前沿进展表明,该领域的研究兴趣更加注重对新型材料的物性及应用方面的研究。比如自2004年发端的对石墨烯的研究,2006年始对两维HgTe/CdTe异质结材料的量子自旋霍尔效应的研究,由此发现了三维拓扑绝缘体,并开始了对新型拓扑量子态的探索与研究。以上研究的理论基础是基于单电子物理图像,然而在实际材料中由于强电子关联效应的存在,近年来引发了人们对于分数拓扑Chern绝缘体的研究兴趣。与此同时,在2008年日本研究小组发现新型铁基高温超导材料以来,高温超导电性的研究再度引起广泛兴趣。铁基超导的研究会深化并丰富人们对于高温超导体中磁性和超导电性的微观机制的认识。本论文将分别对于拓扑量子态与铁基超导电性这两个凝聚态物理的前沿方向开展研究工作。在论文的第一部分,我们将系统地介绍拓扑量子态方面的研究。第一章中,我们将简单地介绍拓扑量子态在凝聚态物理学中的发展。在第二章中,我们将介绍石墨烯的基本电学性质、量子自旋霍尔效应及其输运性质,并揭示出石墨烯纳米带的边界态可以受边界处的外场调控以及Rashba型自旋-轨道耦合是通过以减小拓扑绝缘体的体能隙来破坏拓扑绝缘态的特性。对于双层石墨烯的量子自旋霍尔相,由于存在着偶数个Dirac锥形表面态,理论上可以通过引入层间自旋-轨道耦合,破坏层间的对称性,从而破坏了双层石墨烯的拓扑量子相并驱使体系进入能带绝缘相。实际上,由于石墨烯中的自旋-轨道耦合不够强,使得拓扑量子态在石墨烯中难以实现。由此引发了人们寻找合适的实际材料以期实现拓扑量子态。在第三章中,我们首先分析两维HgTe/CdTe异质结材料和三维Bi2Se3家族材料的拓扑绝缘体,并揭示出在寻常能带绝缘体Sb2Se3材料中可以通过调节压强使得体系进入拓扑绝缘体,从而引发拓扑量子相变。而后,我们研究了拓扑Anderson绝缘体及其有限尺寸效应,发现当拓扑Anderson绝缘体的两个边界距离较近时,两个边界之间的电子散射增强,从而破坏了拓扑绝缘体表面态受时间反演对称性保护下的背散射可能的发生。因此有限小尺寸体系不足以实现稳定的拓扑表面态。在以单电子物理图像背景下的拓扑绝缘体如果考虑强电子关联效应,体系可能会出现分数霍尔态。近年来,逐渐形成对于分数拓扑Chern绝缘体的研究热潮。我们将在第四章中分别讨论有关分数拓扑Chern绝缘体和分数自旋霍尔效应的研究以及如何在两维有机金属材料中实现分数拓扑Chern绝缘体。在论文的第二部分里,我们将主要讨论铁基高温超导体的母体磁性及其超导电性。在第五章中,我们简单的介绍有关超导电性研究的历史发展。在第六章中,我们将主要讨论铁基高温超导体的母体的磁结构及其微观唯象理论,澄清了一直存在争议的KFe2Se2超导体的母体磁结构问题,同时揭示了]Ke2Se2超导材料的相分离机制。随后,我们通过理论分析论证了铁基超导材料母体的磁序产生的微观机理主要是由于铁砷(硒)平面内的As-Fe-As键角所决定。在对于铁基高温超导体的母体磁性有一定认识之后,我们将在第七章中讨论它的超导电性,特别是探讨KFe2As2超导体的配对对称性。基于强耦合途径的理论分析表明KFe2As2超导体的配对对称性应该是s+s波。此外,我们还给出了其与最优掺杂下的超导配对对称性s±的联系。以上这些理论结果有待于将来的实验验证。在论文的第三部分里,即第八章,我们将对本论文的拓扑量子态和铁基高温超导电性两部分做一个简单的总结以及今后工作的展望。