研究一类带有边值问题的偏微分方程广义解的多重性，是微分方程理论研究领域的核心，也是这一领域研究内容的重点课题之一． 利用拓扑度理论和变分方法、临界点原理等工具研究偏微分方程边值问题的可解性和解的多重性具有深刻的物理和力学等背景，解决这类问题不仅需要古典的空间拓扑和几何等方面的性质，同时这类问题的解决又带动了非线性分析中许多新工具的产生和发展，而且也展示了一个多学科相互交融的研究领域．经过大量数学家的努力，这一领域的理论已构成偏微分方程的～类典型的处理方法．本文主要利用这些方法，在前人的基础上研究了一类偏微分方程边值问题的可解性和解的多重性． 1．在第一章中主要介绍与本文相关的一些重要的定义和符号，以及前人利用拓扑度理论、变分方法、山路引理、临界点原理等工具，研究波动方程、椭圆方程所取得的成果． 2．在第二章和第三章中，主要考察一类四阶半线性椭圆方程△<2>u+c△u=b<,1>[(u+1)<+>-1]+b<,2>u<-> 在Q中u=0，△u=0 在aΩ上我们主要讨论了(b<,1>,b<,2>)在六个不同的区域时，狄立克莱边界问题解的存在性和多重性．首先介绍了由算子△<2>+c△的特征函数张成的Sobolev空间及其性质；其次把椭圆方程的相伴泛函G求出后，证明了泛函满足(PS)条件。最后，研究了椭圆方程在(b<,1>，b<,2>)属于六个不同区域上解存在性和多重性．