本文的第一部分研究了受控于几何布朗运动的最优停止随机控制模型，我们称之为最优停止问题，其目的是找到一个停时，使得过程停止的时候期望收益达到最大。我们运用随机分析的方法，通过变分方程来分别处理这个模型中所提出的问题。在一组适当的充分条件下，我们分别证明了最优停时的存在性。该模型的受控过程的状态方程为其中，x>0，W₀=0，μ，σ为常数，μ称为漂移，σ称为扩散，σ≠0．我们的目标为，找到某一停时τ^*∈T，使得：其中，T表示所有F_t停时全体．r>0是折扣因子．（?）（x）为定义在（0，∞）上的满足一定条件的实函数，该函数为效用函数，本文提出了两类效用函数，为本文的第二部分，首先对以往随机控制类论文中一个较为重要的结论给出了另一种新的证明。构造适合一定条件的函数是解决随机控制问题的一个重要方法，因而这种思路和方法具有一定的参考价值。其次，对于一些论文中仅仅提及而未做出任何证明的有用结论给出了严格而详细的推证。