近年来，低维量子系统引起了极其广泛的关注。随着科技的进步，以前停留在理论上的一些物理模型，人们现在已经可以在实验室制备出来，进而研究它们的各种量子效应。比如人们在化合物Cu3(CO3)2(OH)2的磁化过程中观测到了1/3磁化平台，而该化合物的磁性粒子间的相互作用可以用准一维棱型链来描述。此外，人们还在化合物Cu3(P2O6OH)2的磁化过程中观测到了磁化平台，并用一维三聚体链模型对这个化合物进行了模拟，得到了很好的结果。　　 在低维量子系统中，量子相变(QPT)现象占有重要的地位。这种相变发生在零温，往往伴随着观测量的奇异性和关联长度的发散。具有1/3磁化平台现象的低维系统，是研究量子相变的优良载体。在本文，我们将重点研究准一维棱型链以及一维三聚体链等典型的低维系统中的量子相变行为。此外，量子纠缠也是近年来引起特别关注的一个物理量。量子纠缠本来是量子通讯中的物理量，后来被借鉴到凝聚态领域，并得到了广泛的应用。量子纠缠的一个重要应用是它可以用来寻找量子系统的量子相变点。我们使用密度矩阵重整化群方法（DMRG）以及一些解析推导方法，详细研究了这些一维量子系统中的量子纠缠与量子相变。　　 首先，我们深入讨论了零温下量子纠缠的奇异点与量子相变的关系。在一个三聚化的铁磁-铁磁-反铁磁量子Heisenberg链中，随着外加磁场的变化，当磁场经过某个阈值的时候，系统的纠缠由大迅速地变小。这个阈值正好是这个三聚体的量子相变点。我们向系统中引入了一个微小的掺杂，发现阈值从量子相变点移开。更重要的是，随着掺杂浓度的增大，阈值线性地增加，表现出了良好的可控性。这样，整个系统的行为就像一个纠缠态的开关，这个开关由外加磁场驱动，而阈值点则由掺杂调控。这个理论模型提供了一种有效的调控系统纠缠状态的方式，可能在量子通讯和量子信息领域有重要的应用。此外，我们还计算了横场Ising模型、正N面体模型以及棱形链模型的量子纠缠，详细地研究了量子纠缠的奇异点和量子相变点的关系，探明了两者出现不一致的各种原因，对量子纠缠的性质有了更加深入的认识。　　 基于量子转移矩阵重整化群方法（TMRG），我们提出一种计算有限温度下（准）　　 一维量子系统的热纠缠的算法。该算法重建了有限温度下双粒子的约化密度矩阵，然后所有的量子纠缠都可以从这个密度矩阵算出。我们研究了两个具有1/3磁化平台特性的量子模型：棱形链模型和三聚体模型。对于棱形链模型，我们研究了各向异性对系统磁化平台和对应的纠缠平台的影响，发现量子纠缠可以提供一些通过研究宏观热力学量所不能得到的信息。对于三聚体模型，我们计算了双粒子纠缠的温度依赖，发现了一个阈值温度，当系统的温度高于这个阈值温度时，系统的纠缠消失。　　 有趣的是，这个阈值温度并不受外加磁场的影响。此外，我们在Trotter空间考虑了量子纠缠的尺寸效应。随着系统在Trotter空间的增长（对应于实空间中系统的降温过程），量子纠缠在临界点附近收敛得很缓慢，而在非临界区域则迅速收敛。这种Trotter空间的尺寸效应，可以作为一种确定量子相变点的新的指示器。　　 作为DMRG的另一种表述形式，矩阵积态(MPS)近年来研究得很热。基于矩阵积理论，人们可以方便的处理准一维量子系统的基态以及时间演化等性质。人们发现矩阵积系统中的量子相变跟传统的量子相变有很大的不同，比如，前者的基态能量是解析的，而后者的能量是奇异的。我们发现，矩阵积系统在相图上总是选择了一条特别的路径来穿过相变点。正是由于这条路径的特殊性，矩阵积态——量子相变具有许多不同于传统量子相变的性质。我们提出了一个路径方程，这个方程可以用来理解矩阵积态-量子相变和传统量子相变的不同行为。此外，通过解这个方程，我们可以直接求出系统的相变点，这比传统的计算转移矩阵的方法简便得多。这个方程就像是矩阵积态-量子相变的路径选择定则。进一步，我们发现矩阵积态的观测量的奇异点跟它在相图上路径的转折点一致，而不一定是相图上的边界点。这样，在矩阵积态-量子相变中可能根本没有传统相变的发生。　　 张量积态，或者又叫做投影的纠缠对态（PEPS），是矩阵积态的二维推广，已经被用来处理二维量子系统的基态和时间演化等问题。在本文中，我们提出了基于张量的二维PEPS对称性方程。这些方程可以用来：(1)判断某个给定的PEPS 是否具有某种对称性，或者(2)帮助我们构造出具有预定的对称性的PEPS。进一步，我们发现PEPS对称性方程的解可以用具有相同对称性的一维矩阵积态对称性方程的解来表达，这样，我们可以通过熟悉的矩阵积态来构造相对而言不太熟悉的张量积态。作为两个例子，我们研究了一个自旋1的平面正方网格和一个自旋1/2的双层网格。这些模型的量子纠缠使用DMRG方法算出。通过分析量子纠缠，在某些特定情况下我们可以给出张量积态的紧致表达式。