时域弹性波在科学和工程领域中有非常广泛的应用,比如医学成像、石油探测、地震学等。本论文研究了两个问题:时域声波-弹性波耦合问题和波在多孔弹性介质中的传播问题。时域声波-弹性波耦合问题又被称为时域流固耦合问题,描述了入射的声波碰到浸入在齐次、可压、无粘液体中的有界弹性体而发生散射的过程,数学上可以用依赖时间的传输方程来描述。波在多孔弹性介质中的传播数学上可以用无滑动界面条件的斯托克斯（Stokes）方程和线性弹性方程的耦合来描述。本论文由三部分组成:第一部分是利用间断伽辽金（DG）方法分析和求解时域声波-弹性波耦合问题;第二部分是利用耦合的边界积分方程-间断伽辽金（BIE-DG）方法分析时域声波-弹性波耦合问题;第三部分是利用DG方法求解全频段情况下波在多孔弹性介质中的传播问题。时域声波-弹性波耦合问题因为区域无界性和时间依赖性,给理论分析和数值实现带了很大的挑战。针对时域声波-弹性波耦合问题的数值方法,我们通过人工边界方法和边界积分方程方法来处理无界区域有界归化。在第二章中,我们采用时域声波方程一种新颖的一阶近似条件来定义人工边界上的边界条件,然后应用DG方法分析和求解归化的有界域初边值问题;在第三章中,我们利用边界积分方程方法求解无界域声波传播问题,归化的有界域初边值问题由BIE-DG耦合方法求解。我们给出相应的理论,包括稳定性分析、收敛性分析以及数值解的误差估计。波在多孔弹性介质中的传播分为低频和高频两种情况。在低频情况下,孔隙中的流体是泊肃叶（Poiseuille）流体,粘性效应与流体质点和固体质点的相对速度成正比,数值实现的困难主要是处理粘性项导致的刚性问题;在高频情况下,粘性效应与频率(ω1/2)有关系,在时域方程中表现为卷积,数值实现的主要困难是离散记忆项和存储历史解。针对这两种情况,本文在低频情况下选择龙格-库塔间断伽辽金（RKDG）方法直接求解Biot方程;在高频情况下,本文从多孔弹性介质的弯曲度在频域中是斯蒂尔杰斯（Stieltjes）函数出发,利用双边残量插值方法逼近弯曲度,得到了频域中的近似达西定律,通过拉普拉斯逆变换得到了时域中的增广Biot-JKD模型并证明了其能量递减的性质,再利用RKDG方法数值求解。最后,我们通过数值算例验证了模型和算法的有效性。