量子计算机出现后，由于量子的不可克隆特性，在量子环境中编码存在着一些难题。Shor和Steane通过一些巧妙的措施避免了这些难题，提出了量子纠错编码。量子纠错码与保密通信密切相关，是提高信息传输可靠性的一种重要手段，因而量子纠错编码理论在量子信息理论中占据了非常重要的地位。与经典编码理论一样，在量子编码理论中如何寻找出具有更好的参数和性质的量子码，已成为研究的中心课题之一。　　 量子MDS码是满足量子Singleton界的一种特殊的码，它具有很强的纠错能力，特别是码长不是很长时，其性能非常接近理论值。此外，它还具有很好的代数结构，构造方便，并且能相对容易的进行编码和译码，具有很强的实用性。因而，近年来在许多通信系统中获得了应用。　　 目前，量子MDS码的构造方法主要有两种，一是通过已知的经典码来构造，即先构造量子稳定子码、代数几何码、经典的自正交线性码、或者对称、欧几里德、埃尔米特自正交MDS码、广义的RS码等，再由它们得出量子MDS码，本文就是利用这种构造方法；二是通过图论的方法构造量子码，虽然构造起来比较困难，但是非常有意义。　　 文献[4]已经证明了，在码长满足一定条件的情况下，最小距离d=3的所有的q元量子MDS码是存在的，而d=4量子MDS码的存在性仍然有待考证，若存在，需构造出它的生成矩阵，于是本文就这个问题展开了讨论。本文主要结合文献[4]中的定理和结论，加上文献[3]的构造方法，构造了有限域上的一些经典的Hermitian自正交码，通过它们去得到一些量子MDS码。文章中给出了有限域GF(q2)上的Hermitian自正交码与有限域GF(q)上的量子MDS码它们之间的一一对应关系；之后又给出了用数学软件Magma得到的一些最小距离d=4的量子MDS码的生成矩阵，并列出了所有未能构造出的情况。