活性物质(active matter)是目前科学界研究的一个重要方向,在生物学,生物化学,生物物理,生物工程,医学等方面具有重要作用。活性物质的主要特点是组成活性物质的活性颗粒或细胞可以消耗环境中的自由能,比如化学能或生物能等等,推动颗粒自身的运动。活性液晶(active liquid crystal)是其中重要的一类,它即具有普通液晶的特点,可以形成液晶态,也具有活性物质的特点,即形成液晶的颗粒具有活性可以自己运动,在宏观上形成各种自组装的结构。对活性液晶的研究有助于人们对细胞中的细胞膜的结构,细胞骨架的结构,以及其形变原理等的理解。本文对活性液晶进行数学建模和数值模拟,主要内容如下。首先,我们应用广义流体力学理论对由活性颗粒组成的黏弹性流体材料进行数学建模。广义流体力学理论告诉我们系统的状态演化方程是在一个明确定义的(well-defined)热平衡态附近展开,认为系统的非平衡态过程是由于在已经存在的热平衡态上强加了一个非零但很小的推动力,使得系统离开热平衡态。在建模过程中,我们应用系统自由能的平移和旋转不变性,系统地推导了Ericksen应力张量和反对称应力张量。根据Onsager原理,把系统的状态变化过程分为耗散过程和反应过程,根据在时间反演下的性质,广义通量用广义力展开,即得到应力和应变的关系,特别是明确的指出了活性相关的各类应力张量,确保该模型满足热力学原理。假设系统颗粒具有高浓度和较强的相互作用,认为活性颗粒浓度是不变的,我们只考虑活性颗粒的指向和系统流场之间的相互作用,通过简化上述的一般化模型,得到一组描述活性液晶的宏观运动方程,即液晶指向矢和系统流场关于时间的演化方程。接下来,我们对系统的稳态进行线性稳定性分析。系统方程有稳态常数解,给此常数解一个微小的扰动,把此扰动关于时间用Laplace模型展开,关于空间用Fourier模型展开,代入系统方程取一阶项即得到关于扰动的线性特征方程,求解此特征方程可得到时间增长率关于扰动波数的函数关系。我们发现系统是长波不稳定的,该不稳定性依赖于各个活性参数：活性强度,活性粘性强度和自身运动的速度。对于系统的各向同性(isotropic)状态,扰动沿各个方向的不稳定性是一样的,但对于系统的液晶态,扰动方向平行液晶方向和垂直液晶方向的不稳定性是不一样的,这也体现了活性液晶在液晶态时的各向异性(anisotropic)的特征。然后,我们做一维空间上的数值模拟,假设系统只依赖一个空间维度,即系统在y方向上有两个物理边界,在x,z方向上系统是空间一致的。我们把系统分为两类进行讨论,一类是系统的黏性应力占优,流场是由流体黏性和边界条件给出,主要是研究液晶指向矢在给定流场下随时间的变化规律和形成的时空结构,在不同的边界条件下,我们可以得到时间周期状态和空间上一致或不一致的状态。在外部剪切流的作用下,在平面上,液晶指向矢有翻倒(tumbling)行为或者流对齐(flow-aligning)行为,这主要取决于颗粒的形状参数。在三维空间中,液晶指向矢还可以形成平面外(out-of-plane)的结构。这些结构强烈地依赖于外部流场和在y方向上的物理边界条件。另一类是同时考虑系统中液晶指向矢和流场之间的相互作用,这时液晶颗粒本身的活性对流场的作用是复杂而且重要的。通过对稳态液晶态的线性扰动分析,我们得出在颗粒活性足够强的情况下,系统可以形成自发的流动,从而指向矢在空间形成自组装结构。我们讨论了自发流动的形成对系统参数和系统初始条件的依赖关系,自发流动和外部剪切流,颗粒活性黏性之间的相互作用,并且讨论了指向矢在三维空间中的稳定性。在一定条件下,指向矢会离开它在初始状态时所在的平面,形成三维的空间结构。对自发流动和三维稳定性起决定性作用的是液晶颗粒的活性强度和颗粒的几何参数(棒状或者盘状)。活性黏性和自身运动速度也起重要作用,它们破坏了系统的对称性。我们也对系统进行了二维空间上的数值计算。应用不可压缩流体的投影算法对系统方程进行差分离散,可以得到一个时间上一阶精度空间上二阶精度的离散计算格式。根据边界条件分两类对系统进行了数值模拟,一类是半周期半物理的边界条件,具体是系统在x方向上是周期的,在y方向上是物理的,另一类是全物理的边界条件。对于具有半周期半物理边界条件的系统,我们在一些参数区间里面可以得到和一维数值模拟时相同的结果,但在另一些参数区间里面结果是不一样的,二维空间上的数值模拟可以得到更丰富的结果。对于具有全物理边界的系统,通过对初始状态的扰动,在一定的参数空间里面,同样可以得到自发的流动,但需要液晶颗粒具有更大的活性,并且对于不同的颗粒类型(伸长型pusher和收缩型puller)会形成不同的空间结构。我们还数值模拟了液晶态在二维空间上可能形成的三类主要的残点类型(defect pattern),分别是星状(aster),涡状(vortex)和螺旋状(spiral)。通过线性稳定性分析可以确定这三类残点在二维空间中的稳定性条件,并且通过构造恰当的初始条件给出三类残点的数值模拟。对于这些二维空间中形成的残点在三维空间中是否稳定,我们给出的简单的线性分析指出,在残点所在的区域是不稳定的,指向矢都会离开二维平面使得系统自由能降低。同样我们给出了指向矢在三维空间中的数值模拟,可以清楚的发现在残点区域指向矢是离开初始平面的。文章最后一部分讨论了活性液晶的毛细不稳定性(Capillary instability),具体是研究一个无限长的轴对称圆柱状的活性液晶细丝在一种各向同性流体中的线性稳定性。我们首先对被动液晶(没有活性)进行不稳定性分析,得到不稳定增长率的解析表达,确定了液晶弹性系数,颗粒的几何参数,流体黏性和表面张力对该不稳定性的作用。然后,通过对流场和活性运动的相互作用的研究,我们发现了活性液晶的三类不稳定模式。第一类是由颗粒的活性强度引起的不稳定性,假设液晶的弹性系数很小,我们得到该不稳性在无限长波扰动下的解析表示,在某一参数区间中此不稳定性存在,在另外的参数区间中该不稳定性不出现,在此基础上通过数值模拟,我们给出了在选定的参数空间中的不稳定相图。第二类不稳定模式是经典的瑞雷不稳定性(Rayleigh instability),它存在于有限的波数区间[0, kcutoff],截至波数kcutoff依赖于液晶颗粒的活性,当颗粒活性表现为拉伸力的时候,截至波数会增大,当颗粒活性表现为收缩力的时候,截至波数会缩小,如果收缩力足够强,kcutoff=0,此不稳定性消失。第三类不稳定模式是由颗粒的活性黏性引起的,当活性黏性足够大的时候该不稳性会出现,颗粒的自身运动速度对该不稳性有影响。对于这三类不稳定模式,我们均给出相应的数值计算结果和对结果的分析讨论。最后,我们扼要总结了本文的一些重要结论,指出了本文中存在的不足,和在未来可以进一步改进和努力的方向。