本文研究几类来自数学物理中的含散度和旋度算子的方程组,得到了一些解的存在性、正则性、Liouville型结果;建立了向量场的Hardy型不等式,在适当的空间之下,得出了一类分数次积分算子端点情形的有界性.在第一章绪论中,我们简要地介绍了本文的研究背景与主要结果.在第二章中我们考察了一个稳态的热电模型.该模型是由一个非线性Maxwell方程组和一个椭圆方程耦合而成.我们对一般边值得到了弱解的存在性与正则性结果,并在小边值情形下给出了唯一性结论.同时,我们也研究了几类相关的模型.第三章由两部分组成.在第一部分中,我们得到了无界区域中的Beltrami流的Liouville型结果,对于无界区域情形,在无穷远提衰减性条件,当区域是星形区域时在边界上切向为零,和以及当区域是星形区域之外时在边界上法向为零,Beltrami场都是平凡的.运用同样的研究技巧,我们还研究了Maxwell和Stokes第一特征值以及第一特征函数的性质.在第二部分中,在外力小的条件下,运用Schauder不动点定理得到Hall-MHD方程组其磁场Holder连续的弱解的存在性.在第四章中,首先我们考虑了在L1和加权L1向量场空间中的分数次积分算子.利用分数次积分算子的有界性结果和Stein-Weiss不等式,我们给出一类Caffarelli-Kohn-Nirenberg不等式的新证明,并建立了新的div-curl不等式.其次,我们对Bourgain和Brezis关于L1向量场的不等式给出了一个初等证明.最后,我们对有界区域中的向量场建立了Hardy型不等式.