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本文一方面通过有限群的非循环及非交换子群的共轭类数、交换子群的自同构导子和Frobenius全局宽研究有限群的结构和性质,得到许多新的结果,从而推广了以前的研究.另一方面,由于群和李代数之间存在紧密的联系,有着类似研究的传统,这两个领域已获的很多相似的研究结果.类似于群论的研究,本文将借助幂零剩余的正规化子研究有限维李代数性质.具体研究内容如下第2章,用π(G)表示群G阶的素因子集合,δ(G)表示G中非循环子群的共轭类数.首先,给出了满足条件δ(G)=2|π(G)|-1和δ(G)=2|π(G)|-2的有限可解群同构分类.其次,决定了满足条件δ(G)=|π(G)|+2的有限可解群结构.最后,证明了若G非可解,则δ(G)≥M(G)+2;特别地,δ(G)=M(G)+2的非可解群仅有A5和SL(2,5),其中M(G)表示G的极大子群的共轭类数.第3章,研究非交换子群的共轭类与群的可解性.首先,证明了非交换极大子群的共轭类数不超过2的有限群可解.其次,证明了非交换子群的共轭类数τ(G)≤M(G)的有限群必可解且τ(G)=M(G)+1的非可解群仅同构于A5;并证明了非可解群G中非正规且非交换子群的共轭类数Γ(G)≥|π(G)|.最后,利用|π(G)|给出了有限群中非素数幂阶非交换子群共轭类数的下界.第4章,设H是G的子群,规定AutG(H):=NG(H)/CG(H)为H在G中的自同构导子,则有Inn(H)<AutG(H)<Aut(H).如果G的每个交换子群A满足AutG(A)～Inn(A)或AutG(A)≌Aut(A),则称G是ANC-群.本章主要刻画了 ANC-群的结构.第5章,Div(G)表示群G阶的所有因子构成的集合.设e ∈Div(G),规定集合 Le(G)={x∈G|xe=1}.Frobenius 证明:对任意 e ∈Div(G),必存在某个正整数ke使得 |Le(G)|=kee.称 B(G)=max{|Le(G)|/e|e ∈Div(G)}为 G 的 Frobenius全局宽.本章主要决定了满足条件B(G)=4的有限群结构,并证明了满足条件B(G)≤7的有限群必可解.特别地,B(G)=8的非交换单群仅有A5.第6章,设L是特征为0的域上的有限维李代数,L∞是L的幂零剩余.首先,研究了L∞的性质,并证明了 L幂零当且仅当L∞正规化L的所有极大子代数.其次,如果L∞幂零,则称L为F_n-李代数.规定S(L)=(?)NL(H∞).令S0(L)=0、Si+1(L)/Si(L)=S(L/Si(L)),则定义了 L的一个理想升链{Si(L)},记S∞(L)=(?)Si(L).证明了,L是F_n-李代数当且仅当L=S∞(L).最后,引入一类特殊的F_n-李代数.若L=S(L),则称L为S-李代数.研究了S-李代数的基本性质,并得到F_n-李代数成为S-李代数充分条件.