【摘 要】
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摘要Quantale概念是由C．J．Mulvey于1986年在研究非交换的G*-代数的谱时首先引入的，其背景是给量子力学提供新的数学模型。对它的研究涉及到非交换的C*-代数，环的理想理论，逻辑和理论计算机科学等诸多研究领域。由于Quantale可以看作是Frame的一般化，以及其丰富的序结构，代数结构和拓扑结构，因此其自身的内在结构也有极其丰富的内容。本文对Quantale的元素之间、核映射与商Q
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摘要Quantale概念是由C．J．Mulvey于1986年在研究非交换的G*-代数的谱时首先引入的，其背景是给量子力学提供新的数学模型。对它的研究涉及到非交换的C*-代数，环的理想理论，逻辑和理论计算机科学等诸多研究领域。由于Quantale可以看作是Frame的一般化，以及其丰富的序结构，代数结构和拓扑结构，因此其自身的内在结构也有极其丰富的内容。本文对Quantale的元素之间、核映射与商Quantale以及同余关系之间的关系，特殊Quantale的结构（如幂等左侧空间式Quantale的特征，单纯Quantale的特征等），Prequantale和Quantale之间的内在联系，Quantale中的闭滤子和闭映射以及Quantale范畴Quant的性质等作了较为系统的研究。主要内容如下： 一．研究空间式Quantale和单纯Quantale的结构。给出了Quantale中元素之间的关系，得到了关于∨，∧，→运算的一些结果。给出了Prequantale构成Quantale和交换Quantale的充分必要条件以及空间式Quantale的积和子Quantale是空间式Quantale。讨论了幂等左侧Quantale的一些性质，利用简单幂等左侧Quantale是空间式Quantale，证明了幂等左侧Quantale是空间式Quantale当且仅当它是简单幂等左侧Quantale乘积的子Quantale。幂等左侧Quantale是单纯Quantale当且仅当它是离散一致简单Quantale。 二．研究Quantale中的核映射和闭滤子。引入了c-核映射，r-核映射，闭滤子和闭映射等概念，讨论了它们的一系列性质。给出了在不同类型的Quantale中c-核映射的刻划以及c-核映射和，r-核映射的等价性。在范畴Quant中，证明了任一对象的商对象在同构的意义下可由核映射诱导。讨论了闭滤子和闭映射之间的相互确定关系，给出了凝聚左侧Quantale Q的闭滤子全体F（Q）在包含序下构成Frame，并且Q的紧闭滤子全体Fc（Q）是F（Q）的子Frame。证明了凝聚双侧交换Quantale的紧闭滤子全体在包含序下构成凝聚Frame。 三．研究范畴Quant的性质。较为系统地讨论了范畴Quant的性质，考察了范畴Quant中单态射、满态射、截节、收缩、极端单态射、极端满态射、常值态射、余常值态射、零态射等特殊态射和始对象、终对象等特殊对象，给出了它们的具体刻划，得到了范畴Quant是良幂的，余良幂点化范畴.给出了范畴Quant中等子和余等子的结构，证明了范畴Quant有等子和余等子以及有交，进而得到了范畴Quant是完备范畴.讨论了范畴Quant中的自由对象，得到了自由对象的具体结构，进一步证明了范畴Quant是代数范畴.此外，还讨论了范畴Quant中的极限，逆极限和定向极限，给出了Quant中极限和逆极限的结构.利用在一族Quantale的不交并上定义的等价关系，给出了范畴Quant的定向极限的结构.
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