本文研究了与微分算子相联系的一系列函数空间-Hardy空间、BMO空间和VMO空间。同时，也研究了弱核条件下的奇异积分算子交换子的有界性。 本文分六章。在第一章中，我们将从Rn上经典Hardy空间、BMO空间以及近年来发展的Rn上与微分算子相联系的Hardy空间、BMO空间的研究的历史角度出发，阐述本文研究课题的背景、困难及意义。在这一章，我们也罗列了我们的主要结果。 第二章中，介绍泛函演算的基本知识及本文的一些重要记号。 第三章中，我们引入了乘积空间上与微分算子相联系的Hardy空间H1L(R×R)和BMO空间BMOL(R×R)。我们利用乘积空间上的帐篷空间理论，算子的全纯泛函演算以及Journé引理得到了H1L(R×R)的分子分解结构定理以及Hardy空间与BMO空间重要的对偶定理，即(H1L(R×R))=BMOL*(R×R)，其中L是L*的自伴算子。 在第四章，我们引入了Rn上与算子相联系的VMO空间VMOL(Rn)，并证明了该VMO空间的对偶空间即是P.Auscher、X.T.Duong和A.McIntosh研究的Hardy空间。 第五章是研究当算子L=-b△时，Hardy空间Hp-b△的特征刻划。我们证明了Hardy空间Hp-b△是与Han，Lee和Lin近年来所研究的Hardy型空间Hpb-1是等价的。 在第六章中，我们将用小波分析中BCR算法证明一类弱核条件下的Calderón-Zygmund奇异积分交换子的有界性。