本文从理论和数值计算两方面对若干分数阶微分方程进行研究,具体研究内容和结果如下:第一章,概述分数阶微分方程的研究现状,陈述本文的研究动机和涉及的主要内容,并给出了一些相关的预备知识。第二章,讨论R-L分数阶导数或Caputo分数阶导数表出的分数阶微分方程边界条件的提法,相应弱形式的导出以及弱问题的适定性等。接着考虑在不同的假设条件下,使用混合R-L和Caputo定义的分数阶微分方程定解问题连续解的性质,存在性和唯一性等问题,为后面章节提供理论依据。第三章,引入基于张量分解的Proper Generalized Decomposition(PGD)方法求解二维变系数分数阶微分方程,该方法具有减少计算量和存储量的优点。采用谱方法求解PGD算法中的迭代方程,用数值实例说明了 PGD方法在求解变系数分数阶微分方程的有效性。第四章,研究了分数Stokes方程的适定性和数值解。首先给出了分数阶Laplace算子的定义与相关的函数空间,建立问题的弱形式,再通过经典的鞍点理论研究弱解的存在唯一性。然后基于导出的变分框架,我们构造有效的谱方法求得弱问题的近似解。本章的主要贡献有三点:1)构建了分数阶Stokes方程变分理论框架;2)给出了弱问题的谱方法逼近,并详细导出数值解的误差估计;3)给出数值方法的一种快速实现技巧,并对导出的离散系统进行分析研究。最后通过一些数值例子验证我们的理论结果。