在理论研究与实际应用中，不等式常常起着重要的作用。在很多时候，它的重要性甚至超过等式。尤其，许多方程无法求出精确解，但是可以利用适当的不等式对解进行估计。特别Hilbert不等式广泛应用于解析数论，泛函分析，微分方程和逼近论等等。 由于Hilbert不等式在数学科学上的重要性，引起了数学家们很大的兴趣。多年以来，Hilbert型不等式被数学家们研究且因此获得各种不同的优美的结果。 本文就如下几个问题进行了研究： 如何应用Euler—Maclaurin求和公式处理好重级数中的计算问题；如何对Holder不等式进行精化；如何选择合适的单位向量来创建新的不等式。 全文共分四章： 第一章，简述课题的发展历程、研究现状和本文所做的工作。 第二章，通过引入一个适当的权函数，并且运用Euler—Maclaurin求和公式，对重级数型Hilbert不等式进行了一个新的改进，证明了关于Hilbert积分不等式类似的结论，并应用这些结论，给出了Hardy—Littlewood定理和Widder定理的加强结果 第三章，首先利用加强的Cauchy不等式得到了Holder不等式的一个改进，再寻找恰当的单位向量h，得到Rλ的不同表达形式，使其满足Rλ≠0，Rλ<1，利用不等式（a，b）<‖a‖p‖b‖q（1—R）k，对