【摘 要】
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在科学技术飞速发展的背景下,非线性科学在数学物理学科中的应用变得越来越普及.因此,研究非线性微分方程(组)是十分有必要的.非线性微分方程(组)的守恒律和精确解是数学物理
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在科学技术飞速发展的背景下,非线性科学在数学物理学科中的应用变得越来越普及.因此,研究非线性微分方程(组)是十分有必要的.非线性微分方程(组)的守恒律和精确解是数学物理领域中的一个热点问题,它对于非线性微分方程(组)的可积性、线性化等的研究意义深远.本文将以对称方法为基础,结合符号计算系统MATHEMATICA及吴方法,对几个非线性微分方程(组)的经典Lie对称、μ-对称进行了分析,并构造了守恒律和精确解.第一章,简要描述了经典Lie对称、μ-对称及守恒律和精确解方法的研究背景、现状、意义及相关理论知识.第二章,对非线性Jaulent-Miodek(JM)方程组进行了对称分析,获得了方程组的Lie对称,并构造了子代数的一维最优系统.借助Ibragimov提出的伴随方程方法,给出了JM方程组的守恒律.最后利用幂级数方法和守恒律分别给出了JM方程组的精确解.第三章,对(3+1)维KP方程进行了Lie对称分析,给出了它的一维最优系统和部分守恒律.然后,由守恒律给出了KP方程新的精确解.第四章,借助符号计算系统研究了三个非线性偏微分方程的μ-对称,然后利用得到的μ-对称发现了方程新的不变解.第五章,对本论文所研究的内容进行了总结,也对以后进一步需要研究的工作进行了一些展望.
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