本文讨论了第二类Cartan-Hartogs域与单位超球间的极值问题，其主要结果是得到了从第二类Cartan-Hartogs域到单位超球的Carathéodory极值映照，并得到了Carathéodory极值和极值距离的计算公式.其中第二类Cartan-Hartogs域的形式如下：YⅡ(N；p；K)：={w∈CN，Z∈RⅡ(p)：‖w‖2K＜det(I-Z(-Z)t)}这里RⅡ(p)代表华罗庚意义下的第二类Cartan域，因而Z是p阶对称方阵，Zt代表Z的转置，(-Z)表示Z的共轭，det代表一个矩阵的行列式，N为正整数，K为正实数. 为了找到从第二类Cartan-Hartogs域到单位超球的Carathéodory极值映照，本文首先求出了YⅡ(N；p；K)的最小外切Hermitian椭球的一般形式S(a，b)={(w，z)∈CN+M：a‖w‖2+b‖z‖2＜1}，a＞0,b＞0，其中M=p(p+1)/2. 接着，根据在不同情况下YⅡ(N；p；K)的最小外切Hermitian椭球的具体形式得到了以下结论：当0＜K≤p时，以下映照是从域YⅡ(N，p，K)到单位超球BN+M的Carathéo-dory极值映照：f：YⅡ(N，p，K)→BN+Mfi((w，Z))=wii=1，2，…，Nfuv((w，Z))=(1/p)1/2zuv=1，2，…，p；v=1，2，…，p；u≤v.当0＜K≤p时，Carathéodory极值为Jmax(YⅡ(N,p,K),BN+M)=(1/p)p(p+1)/4； 当1≤K≤p时，YⅡ(N；p；K)与单位超球BN+M的极值距离是μ(YⅡ(N,p,K)，BN+M)=p(p+1)/4logp. 当K＞p时，以下映照是从域YⅡ(N，p，K)到单位超球BN+M的Carathédory极值映照：f：YⅡ(N，p，K)→BN+Mfi((w，Z))=√a0wii=1，2，…，Nfuv((w，Z))=√b0zuvu=1，2，…，p；v=1，2，…，p；u≤v其中a0=(2N)K-p/K(2N+Kp+K)p/K/2N+p2+p，b0=(2N+(p+1)K/(2N+p2+p)K.当K＞p时，Carathéodory极值为Jmax(YⅡ(N,p,K),BN+M)=(2N)N(K-p)/2K(2N+pK+K)2pN+Kp(p+1)/4K/Kp(p+1)/4(2N+p2+p)2N+p(p+1)/4，YⅡ(N；p；K)与单位超球BN+M的极值距离是μ(YⅡ(N，p，K)，BN+M)=1/4KlogKKp(p+1)(2N+p2+p)2NK+Kp(p+1)/(2N)2N(K-p)(2N+Kp+K)2Np+Kp(p+1).