【摘 要】
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本文主要研究了Novikov方程、带立方可积Camassa-Holm方程以及三分支可积Camassa-Holm系统这三个可积系统解的性质.这些方程与经典的Camassa-Holm有着十分相似的结构,但也有着各自新的特点.我们首先构造了一个正则性较低的空间,再利用流（flow）的技巧构造了三个系统的唯一解,并研究了解的弱连续依赖性（定义见1.2）;进一步地,通过先验估计来说明了解的正则性（即最高阶导
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本文主要研究了Novikov方程、带立方可积Camassa-Holm方程以及三分支可积Camassa-Holm系统这三个可积系统解的性质.这些方程与经典的Camassa-Holm有着十分相似的结构,但也有着各自新的特点.我们首先构造了一个正则性较低的空间,再利用流（flow）的技巧构造了三个系统的唯一解,并研究了解的弱连续依赖性（定义见1.2）;进一步地,通过先验估计来说明了解的正则性（即最高阶导数的阶数）在实数轴上的传播现象;同时,我们运用磨光逼近的方法,研究了在有界开区间中,前两个方程正则性的传播;利用迭代的思想,证明了Novikov方程解的最高阶导数连续性能在一有界开区间上传播.本文由五章组成:第一章,介绍了Novikov方程、带立方可积Camassa-Holm方程以及三分支可积Camassa-Holm系统的研究背景,包括方程的由来,物理意义,研究意义等.最后介绍了本文的研究内容和研究思路,并给出了相关的基本定义、记号、以及不等式.第二章,考虑Novikov方程的Cauchy问题,其困难在于方程中的非线性立方项,以及初值正则性的不足.为此,我们先利用卷积运算来降低方程中的正则性,即把方程写成一个较弱的卷积形式;再利用流的技巧,形式上把原方程所在的Euler坐标系转化为Lagrange坐标系,推导出一个与原方程卷积形式等价的积分方程,再通过积分方程的解来构造原方程的弱解及其弱适定性（定义见1.2）.最后,我们给出了解的先验估计,并先后讨论了初值正则性和最高阶导数连续性的传播.第三章,考虑带立方可积Camassa-Holm方程的Cauchy问题,其中的带立方非线性项是研究的首要困难,不同于Novikov方程中的非线性立方项,它的存在使我们必须选取由2-2生成的流来推导积分方程.在空间构造方面,也要适当提高正则性.我们首先得到一满足方程的弱解,再通过一系列估计得到解的正则性以及关于时间、初值的连续性.最后,给出了初值正则性在有界开区间中的传播.第四章,考虑三分支可积Camassa-Holm系统的Cauchy问题,首先我们把方程用向量和矩阵的形式表示成卷积形式,在构造了一个合适的存在空间后,我们进一步得到了方程在该空间的唯一解,并给出其关于初值的弱连续依赖性.第五章,对本文的工作进行了总结并提出对未来工作的一些展望.
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