分形几何是一个崭新的数学分支,它由Mandelbrot在1975年建立.目前,分形几何与众多数学分支有交叉,比如分形上的Fourier分析,分形上的小波分析,分形上的Brownian运动,分形上的复分析等.分形上Fourier分析的一个基本问题是分形测度的平方可积空间是否存在指数函数正交基,即分形测度的谱性问题.1998年,Jorgensen和Pederson发现了第一个奇异非原子谱测度.这一惊人的发现引起了广泛的研究兴趣.这一交叉研究取得了丰富的成果,形成了一个热门的研究方向.分形几何与复分析的交叉研究源自于1998年Lund等对于自相似测度的Cau-chy 变换的分析性质和几何性质 的研究.Lund 等对于 Sierpinski 垫上的规范化 Haus-dorff测度的Cauchy变换展开研究,提出了 Cantor集猜想（也称为Cantor边界性质）.这一研究工作拓展了分形几何的研究内容,开创了分形上的复分析这一数学方向.本文的研究工作主要集中在分形上的Fourier分析和分形上的复分析.第一部分是研究分形测度的谱性,包括m-Bernoulli卷积的非谱性,二元Moran测度的无穷正交性和三元Moran测度的谱性;第二部分是研究Cauchy变换的星形性和凸性.本论文共分为六章,具体安排如下:在前两章,我们介绍本论文的研究问题和研究背景,主要结论和创新.在第三章,我们主要研究m-Bernoulli卷积μρ,m在ρ=±（q/p）1/r和gcd（p,m）=1等条件下的非谱性质.我们得到:若gcd（q,m）=1,则L2（μρ,m）中至多存在m个相互正交的指数函数;若gcd（q,m）>1,则L2（μρ,m）中存在任意有限多个正交指数函数在第四章,我们主要刻画由实数压缩比α,β,α,β,.和数字集{0,1}生成的二元Moran测度无穷正交性的充要条件.我们得到:L2（μ{α,β},{0,1}）包含无穷正交指数函数系当且仅当αβ=（p/q）1/r,其中r∈N+,p为奇数,q为偶数且p<q.在第五章,我们主要考虑由整数压缩比{kn}和数字集{0,1,sn/tn}生成的Moran测度的谱性和非谱性质,其中kn∈3Z\{0}且{sn,tn}={1,2}（mod 3）.我们得到了此类Moran测度成为谱测度的一个充分条件,并给出了谱的表达形式.在第六章,我们主要研究Cauchy变换的几何性质.设K是以{1,i,-1,-i}为顶点的正方形,μ为定义在K上的规范化二维Lebesgue测度,F（z）=∫Kdμ（w）/（z-w）为μ的Cauchy变换.我们得到:在C＼K上,F（z）是星形函数,但不是凸函数.我们这一结果为解决Sierpinski毯上的Cauchy变换的一个猜想提供了思路.