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近年来，分数阶微分方程在扩散和传输理论、混沌与湍流、粘弹性力学及非牛顿流体力学等诸多领域得以广泛应用，已经引起国内外自然科学界的高度重视.分数阶微分方程边值问题是微分方程学科的重要组成部分，普遍存在于自然科学的各个研究领域，边值问题解的存在性一直是广大学者和专家关注的问题；分数阶微分系统的稳定性是一个既有理论价值又有着应用背景的研究领域.本篇博士学位论文主要围绕几类分数阶微分方程边值问题解的存在性和一类非线性分数阶微分系统的稳定性展开研究，主要内容包括： (1)研究了Banach空间中一类非线性分数阶积分-微分方程边值问题多个正解的存在性.首先，我们构造了格林函数并且证明了其性质.进一步，利用非线性泛函分析的不动点指数理论和非紧性测度理论，讨论了Banach空间中的一类阶数在(2,3]之间的微分方程边值问题，得到了该问题正解的存在性与多重性. (2)微分方程共振边值问题起源于物理问题，近年来受到国内外学者的广泛关注.本文主要研究了在共振条件下两种类型的分数阶微分方程边值问题.第一个问题主要研究了无穷区间上的分数阶微分方程共振边值问题解的存在性.通过建立适当的投影算子，应用重合度理论，建立了关于解的存在性的充分条件.第二个问题研究了一类在共振条件下分数阶微分方程耦合系统多点共振边值问题解的存在性.通过引入新的Banach空间，将分数阶微分系统多点共振边值问题等价地转化为该Banach空间中的算子方程问题，利用重合度理论获得了该边值问题解存在的一个充分条件，得到了一些新的结果. (3)研究了一类分数阶微分方程边值问题正解的存在性.在允许非线性项变号的情况下，利用锥上的不动点定理，得到了一类阶数在(2,3]之间的半轴上的分数阶微分方程边值问题正解的存在性定理，并给出了应用实例. (4)研究了一类分数阶微分方程边值问题解在LP空间中的存在性问题.通过建立新的紧性准则，应用Schaudei不动点定理证明了解的存在性.所得结果改进和推广了已有的一些结论. (5)研究了一类a(1
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