1984年,O.Hald首先考虑了带一个跳跃间断点的Sturm-Liouville半逆问题,指出一组谱和一半势函数可以确定所有势函数以及跳跃信息.此类带间断点的问题不仅在理论上有重要的意义,在很多工程应用也有重要的作用.比如,在地球结构测量的时候,可以通过一组谱来确定地幔的密度以及地幔与地壳的接触面位置;在测量一个密度函数具有一个跳跃点的球体的结构时,一组谱可以确定这个跳跃点的信息,等等.图上的Sturm-Liouville问题作为经典的Sturm-Liouville问题的自然推广,同时,它和很多物理上的问题息息相关.本文第二章考虑的是三星图上带一个间断点的半逆问题,首先利用Rouché定理给出了此类问题的特征值的分布,进一步用Hadamard分解定理证明了此类问题的谱可以确定部分跳跃信息,最后证明在已知两条边的势函数以及已知另外一条边的一半的势函数的情况下,它的谱可以唯一确定另一半未知的势函数和所有的跳跃信息.本文第二章讨论了Laplace算子的特征值问题,Laplace算子的特征值在量子物理里有重要的应用,它的特征值与粒子穿过某些场时具有的能量有关,粒子穿过场时具有的能量只有可能是特征值.本文第三章考虑的是具有一定面积的球带上具有Robin型边条件的Laplace算子的特征值问题,利用最大-最小原理指出当球带关于赤道对称时,它的第一特征值最大,且当球带的面积小于某一值时候,它的第一特征值具有一定的单调性。