本文以对偶理论为依托,实现了各类结构问题—-线弹性、反力扩散以及结构自由振动分析中设计变量的严格估计。现有的对偶理论指出,严格界的获得需要涉及两重对偶:(一)从物理概念出发的本构关系误差(CRE)估计,和(二)伴随分析。对于线弹性问题,本文首先在现有理论的基础上,提出了一种统一的设计变量的严格估计方法。该方法表明,任何线性设计变量都可用一个统一的表达式进行表达,并且,基于此统一表达,可以建立设计变量严格界的统一格式。接着,重点分析了基于渐进展开与路径无关积分的单点变量—-包括单点位移、应力以及切口(裂纹)的应力强度因子的统一表达,并根据统一方法,得到了单点变量的严格界限。对于反力扩散问题,本文从一个简单的一维地基梁出发,推导了相应的设计变量严格界的一般理论。此处的难点在于,反力扩散问题需要额外考虑地基反力的本构,因而,需要对现有的CRE概念进行拓展,得到广义CRE。基于广义CRE估计与伴随分析,以与现有理论相似的思路,得到了离散误差乃至设计变量的严格界限。对于自由振动问题,本文首次实现了经由有限元后处理而得到的特征频率的严格上下界。一般地讲,有限元计算直接给出了特征频率的上界,因而,此处的工作在于如何获得特征频率的下界。本文从Rayleigh商特有的正交不等式出发,推导发现,众多特征频率的下界与一个网格相关的常数有关;接着,引入了新的静力型Rayleigh商的概念,发现这个常数可分解为一个整体常数和一个局部常数,其中,整体常数的计算就需要CRE估计。因此,特征频率的严格估计也是对偶所致。本文的最后还从优化分析的角度,阐释了上下界是对偶固有的性质,并且,还据此以一种统一的数学视角,重新推导了本文已有的线弹性、反力扩散问题的设计变量的严格界。本文的工作对于确保结构分析与设计的可靠性有重要的意义。