【摘 要】
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最近几年,在用局部化方法计算局部Calabi-Yau 3-流形上的Gromov-Witten不变量上有比较大的进展。在用局部化方法计算一些Gromov-Witten不变量时,会自然出现一类Hodge积分,M.
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最近几年,在用局部化方法计算局部Calabi-Yau 3-流形上的Gromov-Witten不变量上有比较大的进展。在用局部化方法计算一些Gromov-Witten不变量时,会自然出现一类Hodge积分,M. Marin?o和C. Vava对这类Hodge积分给出一个猜想,随后在数学上被刘秋菊、刘克峰和周坚以及A. Okounkov和R.Pandharipande给出了严格的证明。并被推广得到双划分的Hodge积分公式,和三划分的Hodge积分公式。这些积分公式,使计算任意亏格的Gromov-Witten不变量变成可能。本文首先利用局部化的方法定义了两类Calabi-Yau 3-流形上的局部Gromov-Witten不变量。一是O(k)⊕O(?k ? 2)→P1 (其中k≥?1),推广了O(?1)⊕O(?1)→P1上局部Gromov-Witten不变量的定义;二是KS→S (其中S是环曲面),推广了Fano-环曲面的典范线丛上局部Gromov-Witten不变量的定义。之后,用局部化方法,利用Marin?o-Vafa公式和双划分的Hodge积分公式,以及图的化学方法我们计算了O(k)⊕O(?k?2)→P1和环曲面S的典范线丛KS上的局部Gromov-Witten不变量。我们还计算了一些Gopakumar-Vafa不变量。把上述计算应用到几何工程(geometric engineering)上,我们证明了O(k)⊕O(?k ? 2)→P1上的局部Gromov-Witten不变量的生成函数和仿射平面C2上点的Hilbert概型(C2)[n]上同义反复丛的行列式的某个方次的等变Riemann-Roch指标相等,而Hirzebruch曲面Fm(m≥0)的局部Calabi-Yau几何的Gromov-Witten不变量的生成函数和标架模空间M(2, k)上的某一等变层的等变指标也相等,由此我们可以看到KS上曲线计数问题和C2上SU(2)规范理论瞬子计数问题之间的对偶关系。
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