正整数n的分拆是指将正整数n表示成一个或几个正整数的无序和.不同的分拆方式数称为分拆数.该问题是组合数学,图论,数论研究的一个重要的课题.莱布尼兹发轫于先,后来欧拉将它发展成一种完整的分拆理论.本学位论文主要利用组合方法及正整数分拆的Ferrers图研究了正整数的几种有限制条件的分拆问题.在第三章研究了正整数的连续奇偶分拆问题,给出了一个正整数n能分拆成连续的奇数或连续偶数之和的充要条件,并求出了这两种分拆的分拆数.并将其结果用于讨论不定方程x²-y²=n,给出了判断该方程解的存在性条件,以及解的个数的确定.第四章利用初等方法给出了将正整数n分拆成m个奇数或m个偶数的分拆数O（n, m）, e（n, m）分别化为有限个O（n,2）, e（n,2）的和的计算公式,进而计算O（n, m）, e（n, m）的值.同时,还讨论了将正整数n分拆成互不相同的奇数或偶数的分拆数的相应递推计算方法.第五章讨论了正整数n的无序分拆的拓广概念:正整数n的m-分拆问题.给出了n的m-分拆中具有k个分部的n的m-分拆数P_k（n,m）的生成函数;给出了P_k（n,m）与将正整数n分拆成k个互不相同的部分的分拆数Q（n,k）之间的关系;同时还导出了关于Pk（n,m）的一个递推关系.此外,也讨论了这种分拆数在确定不定方程x₁+2x₂+…+kx_k=n的正整数解数中的一个应用.第六章讨论了正整数的三分拆与整边三角形,利用分拆的Ferrers图将整边三角形与不定方程4x₁+3x₂+2x₃=n联系起来,给出了利用周长为n的整边三角形个数的简洁计数公式来计算正整数n的一类4部分分拆数的计数公式;并给出了一类分部量不超过4的正整数的分拆数的计数公式.