非线性现象在生活中非常普遍,它广泛地出现在非线性光学、玻色一爱因斯坦凝聚(BEC)、光子学、半导体电子学、等离子体、生物学、热传导、液晶等领域。人们一般用一些非线性偏微分方程来描述这些非线性系统,而方程的解则称之为孤子。从物理学的观点来看,孤子是物质非线性效应和色散效应达到某种平衡时的一种特殊产物；从数学上看,它是某些非线性偏微分方程的一类稳定的、能量有限的不弥散解。即是说,它能始终保持其波形和速度不变。孤子在互相碰撞后,仍能保持各自的形状和速度不变,好像粒子一样,故人们又把它称为孤立波。　　 非线性系统主要可分为均匀的和非均匀的,对于均匀非线性系统,描述它的非线性方程一般是常系数的,这种类型方程的孤子解是比较容易找到的,其解的形式也相对简单.对于常系数的非线性方程,其孤子解的传播波形不依赖于任何可控参量,只是关于坐标或时间的函数,这使得孤子的传播演化波形无法调节,而实际上,人们往往要求得到的是一些可以控制和调节的孤子波形.在试验上,也不可能使外界的环境一成不变,总有一些干扰孤子演化的因素存在,从而很难得到稳定的孤子波形,这就使我们转而关注变系数的非线性系统。在非均匀非线性系统中,描述它的非线性方程一般是变系数的,这种类型方程的各项系数一般是关于坐标或时间或者空间的函数,有时方程还包括外势.在这种情况下,方程一般是不可积的,因此,我们在寻找方程的孤子解之前,应先找出方程的可积性条件.在可积性条件下,我们可以运用反演散射法,Backlund变换,双线性方法以及一些相似变换方法来寻求方的孤子解.这时,方程的解中一般包括方程的变系数(或通过别的可变参量和方程的变系数相联系),孤子解的传播波形也随着方程的可变系数而变化,这样,我们就可以通过调节方程的可变系数来控制孤子的演化波形,从而得到我们想要的孤子波形,再将这些实验结果应用于具体的物理领域中。在这些非线性方程中,研究的比较多的是非线性Schrodinger方程,本课题中,我们将应用相似变换的方法求解一类变系数非线性Schrodinger方程,以期得到一些方程的精确解和解析解,进而研究解的性质.本论文研究内容包括:　　 (1)研究一维空间不均匀非线性Schrodinger方程的精确解。通过运用修正的CK直接法,我们构造了大量的关于一维空间不均匀非线性Schrodinger方程的精确解。首先运用修正的CK直接法将非线性Schrodinger方程约化为常微分方程,同时得到一个外势和约化参量之间的关系式；然后通过对约化参量取不同的函数,得到不同的有研究意义外势；最后在考虑外势和常微分方程解的情况下得出非线性Schrodinger方程的精确解。　　 (2)研究广义非自治高次非线性Schrodinger方程的解析解。通过运用相似约化的方法,我们构造了大量的关于广义非自治高次非线性Schrodinger方程的解析解。首先运用相似约化方法将广义非自治高次非线性Schrodinger方程化为标准的非线性Schrodinger方程,同时得到方程存在解析解的可积性条件；然后考虑在没有外势和几种较典型外势情形下方程的解析解。我们讨论了空间二次势,晶格势,吸引-排斥势等一些较有意义的外势,并得出了周期孤立波解,衰减孤立波解,晶格孤立波解以及一些有意思的解析解。最后,我们讨论了这些解的一些性质,如孤立波的宽度,速度,振幅的,并研究了一些可变的可控参量在解中所起的作用,从而达到控制孤立波传播的目的。　　 (3)研究孤子在Fourier-Synthesized晶格势中的演化和碰撞的性质。我们研究广义非自治非线性Schrodinger方程在其外势为Fourier-synthesized晶格势下的孤子解以及孤子间的相互碰撞作用。首先同样运用相似约化方法将广义非自治非线性Schrodinger方程化为标准的非线性Schrodinger方程,同时得到方程存在解析解的可积性条件；然后分别研究了孤子的演化情况和两孤子的相互作用的性质。