【摘 要】
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本论文的研究内容隶属于凸几何分析,致力于研究Brunn-Minkowski理论中的仿射等周不等式与Minkowski型问题.仿射等周不等式主要研究凸体的一些仿射不变量的极值问题,在信息理论和分析不等式中有着广泛的应用.Minkowski问题是凸几何分析、偏微分方程和微分几何等学科共同关注的重要问题,主要研究其解的存在性,唯一性和正则性,其解在建立一些分析不等式方面已经成为一个强有力工具.本论文围绕
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本论文的研究内容隶属于凸几何分析,致力于研究Brunn-Minkowski理论中的仿射等周不等式与Minkowski型问题.仿射等周不等式主要研究凸体的一些仿射不变量的极值问题,在信息理论和分析不等式中有着广泛的应用.Minkowski问题是凸几何分析、偏微分方程和微分几何等学科共同关注的重要问题,主要研究其解的存在性,唯一性和正则性,其解在建立一些分析不等式方面已经成为一个强有力工具.本论文围绕仿射等周不等式与Minkowski型问题的研究分为下述六个部分.第一部分,席东盟,金海林和冷岗松于2014年在Orlicz Brunn-Minkowski理论中定义了凸体的Orlicz加法,并用Steiner对称的方法建立了 Orlicz Brunn-Minkowski不等式.在第二章中,我们用影子系统的方法对此不等式给出了新的证明.第二部分,2018年,Lutwak-Yang-Zhang定义了（p,q）-混合体积,基于此定义我们引入了（p,q）-混合几何表面积的概念,并且建立了与之相关的仿射等周不等式.第三部分,我们在 Orlicz Brunn-Minkowski 理论中提出了 Orlicz Aleksan-drov 问题,并在偶测度情形下,用变分法给出了两种不同条件的解.第四部分,邹都和熊革提出了 Lp q-容量Minkowski问题,并解决了当p>1且1<q<n时该问题的解.进而,熊革等得到了当0<p<1且1<q<2时该问题离散测度的解.在第五章中,当0<p<1且1<q<n时,我们证明了一般测度Lp q-容量Minkowski问题解的存在性.第五部分,对数q-容量Minkowski问题在Lp q-容量Minkowski问题中十分重要.在第六章中,我们研究了对数q-容量Minkowski问题,且给出了该问题离散测度的解.第六部分,关于Orlicz q-容量Minkowski问题的研究,Hong-Ye-Zhang得到了此问题涉及p>1且1<q<n的解.在第七章中我们研究并给出了离散测度Orlicz q-容量Minkowski问题（涉及p<0且1<q<n）的解.
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