【摘 要】
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本论文主要对几类非线性方程的适定性问题和分支现象进行了研究.一方面,我们利用Littlewood-Paley、输运方程理论证明了一个拟线性发展方程和hyperelastic rod方程在Bp,rs空间中的局部适定性问题,并进一步研究了解映射的连续性.另一方面,我们利用微分方程定性理论和动力系统分支方法,获得了Schamel-Korteweg-de Vries方程和一个广义Zakharov-Kuzn
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本论文主要对几类非线性方程的适定性问题和分支现象进行了研究.一方面,我们利用Littlewood-Paley、输运方程理论证明了一个拟线性发展方程和hyperelastic rod方程在Bp,rs空间中的局部适定性问题,并进一步研究了解映射的连续性.另一方面,我们利用微分方程定性理论和动力系统分支方法,获得了Schamel-Korteweg-de Vries方程和一个广义Zakharov-Kuznetsov方程的一些新的行波解和分支现象.本文主要的研究工作如下第一章是绪论,主要介绍了我们所研究对象的背景、研究现状、取得的成果以及本文的主要工作.第二章,我们考虑了如下带有周期初边值条件的拟线性发展方程的适定性问题.（?）tu+∫（u）(?(xu+F（u）=0,x∈T=R/2πZ,l∈R+.在一些条件下,我们证明了该问题在空间Bp,rs（T）是局部适定的.而且,我们还研究了解映射在B2,rs（T）中的一致连续性问题.第三章,我们研究了如下hyperelastic rod方程的周期初边值问题的适定性（?）tu-（?）r（?）x2u+3u（?）xu=γ（2（?）xu（?）x2u+u（?）x3u）,x∈T,l∈R-.我们证明了该问题在Besov空间Bp,rs（T）是局部适定的,其中1≤p,r≤+∞,s>max{1+1/p,3/2}或p=2,r=1,s=3/2.此外,我们还证明了,当某些Bp,rq-拓扑被赋予时,则此解映射就变成了Holder连续的.进一步,我们证明了解映射在B2,rs（T）中不是一致连续的,其中1≤r≤+∞,s>3/2或r=1,s=3/2.第四章,我们研究了Schamel-Korteweg-de Vries方程的非线性波.两种新的非线性波一广义紧波和广义扭波被展示,两种新的分支现象被揭示.第一个现象是扭波可由5种线性波,即钟形孤立波,爆破波,峡谷形孤立波,广义扭波和广义紧波分岔而来；第二现象是周期爆破波可由光滑周期波分岔而来.第五章,我们对一个广义Zakharov-Kuznetsov方程非线性波的分支现象进行了研究.我们揭示了4种分支现象.第一种是低扭波可由对称的孤立波,1爆破波,高扭波和反对称的孤立波分岔而来；第二种是1爆破波可由周期爆破波,对称的孤立波和2爆破波分岔而来;第三种是周期爆破波可由对称周期波分岔而来;第四种是高扭波可由对称周期波分岔而来.
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