【摘 要】
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本文关注的是流体动力学方程,我们考虑以下两个模型:其一为在R3上带外力的不可压缩Navier-Stokes方程;另一个为上半平面的Prandtl方程.关于带外力的Navier-Stokes方程我们关注其解的存在性、唯一性、渐进性和相应的爆破准则.对于Prandtl方程我们关注其解的Gevrey正则性.本文主要由四个章节组成.在第一章中,我们将介绍上述两个模型背景,同时我们还将回顾一些重要的已知的数
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本文关注的是流体动力学方程,我们考虑以下两个模型:其一为在R3上带外力的不可压缩Navier-Stokes方程;另一个为上半平面的Prandtl方程.关于带外力的Navier-Stokes方程我们关注其解的存在性、唯一性、渐进性和相应的爆破准则.对于Prandtl方程我们关注其解的Gevrey正则性.本文主要由四个章节组成.在第一章中,我们将介绍上述两个模型背景,同时我们还将回顾一些重要的已知的数学结果.之后我们将陈述本文中的主要结果.在第二章中,我们讨论R3上带外力的Navier-Stokes方程的柯西问题.我们将给出对于任意初值属于负指标的Besov空间的解的局部（关于时间）存在性.同时我们将介绍三种不同形式的唯一性结论.最后我们将讨论先验整体解的渐进性和稳定性.我们将在第三章中给出一个带不依赖时间的外力的Navier-Stokes方程的爆破准则.我们发现了关于带外力的Navier-Stokes方程的profile分解（profile decomposition）.通过这个分解,我们能建立起Navier-Stokes方程与带外力的Navier-Stokes方程的联系,将Navier-Stokes方程解的爆破信息传递给带外力的Navier-Stokes方程的解.在第四章中,我们研究关于上半平面的Prandtl方程关于时间的局部解的Gevrey光滑效应.众所周知,上半平面的Prandtl边界层方程对于一般的初值是不稳定的,但其对于Sobolev空间中单调的初值是适定的.在关于切向的单调假设下,我们得到了关于初值在某些加权Sobolev空间的解的Gevrey正则性.
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