论文部分内容阅读
本文主要研究复Landsberg度量以及复Finsler度量的双扭曲积.研究了复Landsberg度量、实Landsberg度量、实Berwald度量、复Berwald度量以及弱的复Berwald度量之间的关系，考虑了这些特殊度量的构造问题，并尝试寻找复Finsler几何中的“独角兽”度量，即非K(a)hler-Berwald的复Landsberg度量.扭曲积是Riemann几何和实Finsler几何中构造特殊度量的一个重要手段，本文将它推广到了复Finsler几何中，研究了复Finsler度量的双扭曲积及其相关性质. 在第三章，研究一些特殊的实和复Finsler度量之间的关系.主要证明了:如果F是复流形M上的强凸的弱K(a)ler Finsler度量，则下列论述等价: (i)F是一个实Berwald度量; (ii)F是一个实Landsberg度量; (iii)F是一个复Berwald度量; (iv)F是一个弱的复Berwald度量. 证明了:如果F是复流形M上的强凸的弱K(a)hler Finsler度量，同时又是一个实Landsberg度量，那么F一定是一个复Landsberg度量.还构造了一些特殊的复Finsler度量，如强凸的复Berwald度量、强凸的复Landsberg度量等. 在第四章，主要研究复Finsler度量的双扭曲积.首先，导出了复Finsler度量的双扭曲积诱导的Chern-Finsler联络、复Rund联络、复Berwald联络、复Hashiguchi联络的表达式，这些复Finsler联络分别由双扭曲积流形的分量流形上的相应复Finsler联络表示.其次，给出了复Finsler度量的双扭曲积的全纯曲率、Ricci数量曲率和实测地线的计算公式，这些几何量分别由双扭曲积流形的分量流形上的相应量表示.得到了复Finsler度量的双扭曲积为K(a)ler Finsler度量（或弱K(a)hler Finsler度量、复Berwald度量、K(a)hler-Berwald度量、弱的复Berwald度量、复Landsberg度量、复局部Minkowski度量）的充要条件.作为应用，我们给出了构造复Berwald度量、弱的复Berwald度量、复局部Minkowski度量的一个有效方法.最后，我们研究了复Finsler度量的双扭曲积的局部射影平坦性、局部对偶平坦性以及局部共形平坦性. 在第五章，主要证明:一个酉不变的强拟凸的复Finsler度量是一个复Landsberg度量当且仅当它是一个酉不变的Hermite度量，这表明，在酉不变的强拟凸的复Finsler度量中，不存在复Finsler几何中的“独角兽”度量.