【摘 要】
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众所周知,线性或非线性发展微分方程或方程组可以用来描述科学与工程中的许多实际问题,由于人们对非线性现象认识有限,数值模拟成为研究这些方程解的性质和性态的重要方法.对
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众所周知,线性或非线性发展微分方程或方程组可以用来描述科学与工程中的许多实际问题,由于人们对非线性现象认识有限,数值模拟成为研究这些方程解的性质和性态的重要方法.对于非线性偏微分方程,初始解的光滑性对长时间解的稳定性和收敛性有重要的影响.基于初值的光滑和非光滑情况,本文分析Boussinesq方程一阶和二阶数值格式的稳定性和收敛性。首先,我们考虑光滑和非光滑初值下Boussinesq方程的一阶全离散Galerkin有限元法的H2-稳定性.有限元空间离散基于混合有限元方法,时间离散包括隐式格式,半隐格式,隐显格式,显式格式.建立了四种格式的稳定性结果,即:隐式格式和半隐格式是H2-无条件稳定的,隐显格式在初值属于H1和H2时是H2-几乎无条件稳定的,半隐显格式在初值属于L2时是H2-几乎无条件稳定的,显式格式是H2-条件稳定的,最后给出了数值算例验证理论分析.其次,我们研究光滑初值下Boussinesq方程解耦的Crank-Nicolson/Adams-Bashfor-th格式的稳定性和收敛性.有限元空间离散基于混合有限元法,时间离散对于线性项采用隐式Crank-Nicolson格式,对于非线性项采用显式Adams-Baslhforth格式.采用解耦方法将被考虑问题分解成两个子问题,使之能够并行计算.在一定时间步长限制下建立了数值格式的稳定性,并给出了数值解的最优误差估计,最后数值试验表明了数值方法的有效性.最后,我们探究非光滑初值下Boussinesq方程解耦的Crank-Nicolson/Adams-Bash-forth格式的稳定性和收敛性.首先证明了数值格式是几乎无条件稳定的,然后证明了在一定假设条件下,速度和温度的误差估计在L2范数下是O(h2+△t3/2)阶,在H1范数下是O(h2+△t)阶,压力的误差估计在特定的范数下是O(h2 +△t)阶,最后通过数值算例验证了其数值格式的有效性.
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