分支问题是非线性动力系统领域最重要的研究课题之一,其研究目标是结构不稳定的系统在参数发生变化时,系统的某些拓扑结构发生改变的现象,而分支周期解是这些现象中极其重要的一种。分支周期解对应于动力系统中的自激振动.近来的研究发现,在动力系统中不仅存在自激振动,还存在着我们不易发现的隐藏振动。在许多情况下,振动现象会对我们的生产、生活造成不必要的损失。因此,对隐藏振动与隐藏吸引子的研究与定位对于我们了解动力系统的动力学行为的复杂性具有很重要的意义。本文的工作涉及几类非线性动力系统的Hopf分支问题与隐藏吸引子的定位问题,主要理论框架叙述如下：以时滞τ作为分支参数,研究当它由零逐渐增大时,能使系统平衡点“失稳”的条件。主要途径是研究系统在平衡点处的线性化系统的特征方程的特征根的分布状况。关于分支方向和分支周期解的计算问题,主要是以抽象微分方程的中心流形理论为基础,先把所研究的滞后型FDE投影到中心流形上,然后利用规范型理论获得关于分支方向,分支周期解的稳定性、振幅、周期及其在中心流形上投影的表达式的计算公式。进一步,运用全局周期解存在性定理为理论指导,给出了当系统参数逐渐增大,经过各个临界值时,存在全局Hopf分支周期解的充分性条件,并且确定了可能存在的全局分支周期解个数的下限。当系统具有某种对称结构时,系统方程的纯虚特征根可能会出现多重的情况,针对这种情形,Wu等人利用S1等变拓扑度理论,建立了关于泛函微分方程的对称Hopf分支理论,为研究具有对称结构的时滞动力系统模型建立了理论基础。目前,对于隐藏振动的定位问题,主要是运用Leonov与Kuznetsov等人改进的谐波线性化与描述函数法并结合小参数法,判断周期解的存在性并找到其初始条件。然后运用多次迭代程序,利用第一个步骤中由谐波线性化系统中的周期解上点作为初始值,经过迭代运算,就可以找出所考察的系统中所存在的隐藏周期解或隐藏混沌吸引子。以上述理论作为指导,本文的主要工作为以下几个方面：1.研究一类比率依赖的捕食者-食饵模型在时滞影响下出现的分支现象。首先利用迭代方法,得到了正平衡点为全局吸引的充分条件,通过比较方法,证明了半奇异平衡点的全局稳定性,然后后利用泛微分方程与Hopf分支理论,得到正平衡点附件产生Hopf分支的条件,并且得到了分支周期解性质的判定公式。最后运用Wu所提出的全局Hopf分支定理,讨论了此类生态系统中全局Hopf分支周期解的存在性。2.研究了媒体传播中的时滞对疾病传播的影响。首先我们在媒体传播函数中引入了时滞影响,建立了一类媒体传播中具有时滞的SIR传染病模型,然后我们讨论了在时滞影响下,此类传染病模型的稳定性与分支周期解现象。结果表明,当系统的基本再生数小于1时,此系统中存在唯一的无病平衡点,并且媒体传播中的时滞对无病平衡点的稳定性是没有影响的。当系统的基本再生数大于1时,系统中会出现地方病平衡点,且随着时滞的增大,地方病平衡点的稳定性会由稳定变成不稳定,并且当时滞τ经过临界点的时候,会有周期解由无病平衡点处分支出,并且Hop盼支周期解是全局存在的.3.研究了一类具有时滞反馈控制项的三维自治系统。首先讨论了系统中产生Hopf分支周期解的条件。利用时滞变量τ作为分支参数,当时滞τ经过某个分支值时,平衡点的稳定性将会发生变化,系统的平衡点将会由不稳定变成稳定,或是由稳定的周期轨由平衡点处分支出来,从而导致系统中的混沌现象消失,达到我们控制混沌现象的目的。这说明泛函微分方程理论在混沌控制领域也有着重要的应用。4.研究了一类自治的Van der Pol-Duffing(ADVP)振子模型,运用经典的常微分方程的Hopf分支理论,我们研究了此系统中由倍周期途径通向混沌的现象,即此系统中存在由不稳定的平衡点所导致的周期振动与混沌振动行为。特别地,我们在此系统中发现了隐藏吸引子,并通过Leonov与Kuznetsov等人提出的解析-数值方法对此系统中存在的隐藏吸引子进行了研究,并运用MATLAB工具对吸引子进行了定位。5.研究了一类耦合的具有时滞的Duffing振子模型,取时滞7τ为分支参数,我们研究了此系统中所出现的Hopf分支周期解与分支周期解的时间模式。研究结果说明此系统具有复杂的动力学现象。并且在时滞的影响下,系统的动力学行为会出现变化,系统的平衡点的稳定性的改变导致系统中出现Hopf分支周期解,并且这些分支周期解具有反相振动这种时空模式。特别地,在数值模拟中首次发现了此系统中会出现隐藏吸引子,这也是目前为止所发现的第一个具时滞的动力系统中出现的隐藏吸引子现象。