在研究四色猜想时,Tutte引入了整数流的概念,并提出3-流猜想：每个4-边连通图存在处处非零3-流.设D是图G的一个定向.设E+（u）（E-（u））表示在G中以u为起点（终点）的所有边的集合.对任意u∈V（G）,若存在一映射f：E（G）→{±1,±2,…,±（k-1）}使得则称图G存在处处非零k-流.群连通这一概念是Jaeger等在1992年作为整数流概念的推广而提出来的.设A是以0为单位元的Abel群.称b（u）为图G的一个A值零和映射如果映射b：V（G）→A都满足∑u∈V（G）b（u）=0.若对任意b,总存在映射f：V（G）→A\{0}使得对任意u∈V（G）,满足：则称G是A-连通的.并在文献[25]提出如下猜想：每个5-边连通图都是Z3-连通的.目前,围绕这两个猜想,对满足一定局部条件的图G是否存在处处非零3-流,或图G是否为Z3-连通的等相关方面作了广泛的研究.据此,本文先主要作了以下方面的研究.第二章,Lovasz等[J.Combin.Theory,Ser.B,103（2013）587-598],Lai等[Inform.Process.Lett.,111（2011）1085-1088]以及Ma和Li[Discrete Math.,336（2014）57-68]证明了Jaleger等的Z3-连通猜想归结于5-边连通无爪图的研究.在图G中,若u,v是2-距离的两点,令I（u,v）表示两点u,v公共邻点的集合.即,I（u,v）=N（u）∩N（u）.用（?）表示一类简单连通图G的集合使得G∈（?）当且仅当G是无爪图且对于G中任意一对2-距离的顶点u,v满足|（u,v）|≥2.特别地,如果图G没有2-距离的顶点对,我们也视G∈（?）.在本章中,我们证明了若G∈F,则G不是Z3-连通的当且仅当G是属于三类较好特征的图之一,或者G是7个特殊的非Z3-连通图之一第三章,设G是阶数为n≥4的2-边连通简单图.对于边e=uv∈E（G）,定义dG（e）=dG（u）+dG（v）.令F表示所有阶数为n≥4的2-边连通的简单图集合使得G∈F当且仅当对图G中任意一对独立边e,e’满足dG（e）+dG（e’）≥2n.在本章,我们证明了若G∈F,则G不是Z3-连通的当且仅当G是K2,n-2,K2,n-2+,K3,n-3,K3,n-3+中之一或是16个特殊例外图中之一.从而,该结果推广了Zhang等[[55], Degree sum condition for Z3-connectivity in graphs, Discrete math.,310 （2010） 3390-3397]中的结论.本文第四章研究了一类平面图的非正常染色问题.设G是平面图.设d1, d2,,dk是k个非负整数.若能用颜色1,2,,k对图G的点进行染色,使得染颜色i的点集K所诱导的子图G[Vi]的最大度至多为di,i∈{1,2,,k},则称G是（dl,d2,,dk）-可染的.Borodin和Raspaud [[10], A sufficient condition for planar graphs to be 3-colorable, J. Combin. Theory, Ser B,88 （2003）,17-27]提出猜想：不含相邻3-圈且不含5-圈的平面图是3-可染的.在本文第四章,我们证明了不含相邻3-圈且不含5-圈的平面图是（1,1,0）-可染的.这一结果进一步地加强了Xu [[50], On （3, 1）*-coloring of planar graphs, SIAM J. Disceret Math.,23 （2009）, 205-220]中的结论.