无网格方法是科学和工程计算领域中一种重要的数值方法.与传统的数值方法(如有限元法和边界元法)相比,无网格方法在解决大变形和动态裂纹扩展等复杂问题时,不需要进行网格重构,可以得到计算精度较高的数值解.无单元Galerkin方法是目前研究和应用最广泛的无网格方法之一,而改进的复变量无单元Galerkin方法比无单元Galerkin方法具有更高的计算效率.本文将维数分裂法与改进的复变量无单元Galerkin方法相结合,提出了三维势问题、瞬态热传导、波动方程、对流扩散、弹性力学和弹塑性力学等问题的杂交复变量无单元Galerkin方法.提出了三维势问题的杂交复变量无单元Galerkin方法.采用维数分裂法将一个三维势问题分裂为一系列二维问题.对于每个二维问题,采用改进的复变量无单元Galerkin方法推导其离散系统方程,在第三个方向采用有限差分法将一系列二维离散系统方程进行耦合,可以得到三维势问题的杂交复变量无单元Galerkin方法的求解方程.通过数值算例分析了该方法解的误差和收敛性.相对于求解三维势问题的改进的无单元Galerkin方法,本文方法可以大幅度提高计算效率.提出了三维瞬态热传导问题的杂交复变量无单元Galerkin方法.采用维数分裂法将一个三维瞬态热传导问题分裂为一系列二维问题,对于每个二维问题,采用改进的复变量无单元Galerkin方法推导其离散系统方程,在第三个方向采用有限差分法将一系列二维离散系统方程进行耦合,采用两点差分法对时间域进行离散,得到了三维瞬态热传导问题的杂交复变量无单元Galerkin方法的求解方程.通过数值例对三维瞬态热传导问题的杂交复变量无单元Galerkin方法解的误差和收敛性进行了分析,说明了该方法具有提高计算效率的优点.提出了三维波动方程的杂交复变量无单元Galerkin方法.将维数分裂法和改进的复变量无单元Galerkin方法相结合对空间域进行离散,采用中心差分法对时间域进行离散,可以得到三维波动方程的杂交复变量无单元Galerkin方法的最终离散系统方程.通过算例对该方法解的误差和收敛性进行了分析,说明了本文方法不仅精度高,而且计算速度快.提出了三维对流扩散问题的杂交复变量无单元Galerkin方法.采用维数分裂法和改进的复变量无单元Galerkin方法对三维对流扩散问题的空间域进行离散,采用两点差分法对时间域进行离散,可以得到三维对流扩散问题的杂交复变量无单元Galerkin方法的最终离散系统方程.通过数值算例对该方法解的误差和收敛性进行了分析,说明了该方法不仅计算精度高,而且计算速度快.提出了三维弹性力学的杂交复变量无单元Galerkin方法.将三维弹性力学的平衡方程改写为三组方程,每两个方向的平衡方程为一组.对任意一组平衡方程,采用维数分裂法将其分裂为一系列二维问题,对于每个二维问题,采用改进的复变量无单元Galerkin方法建立离散系统方程,在第三个方向采用有限差分法将一系列的二维离散系统方程进行耦合.类似可得到另一组平衡方程的离散系统方程.将任意两组平衡方程得到的离散系统方程结合,即可得到三维弹性力学问题的数值解.通过数值算例分析了该方法解的误差和收敛性,说明了该方法具有提高计算速度的优点.建立了三维弹塑性力学的杂交复变量无单元Galerkin方法.将三维弹塑性力学的平衡方程改写为三组方程,每两个方向的平衡方程为一组.对任意一组平衡方程,采用维数分裂法将其分裂为一系列二维问题,对于每个二维问题,采用改进的复变量无单元Galerkin方法建立离散系统方程,在第三个方向采用有限差分法将一系列的二维离散系统方程进行耦合.类似可得到另一组平衡方程的离散系统方程.将任意两组平衡方程得到的离散系统方程结合,即可得到三维弹塑性力学问题的数值解.通过数值算例验证了该方法解的误差和收敛性,并与有限元软件ABAQUS得到的数值解和改进的无单元Galerkin方法的数值解进行了比较,说明了新方法的有效性和高效性.对以上提出的杂交复变量无单元Galerkin方法,本文编制了MATLAB计算程序,并进行了数值算例分析,说明了本文方法的正确性和有效性.本文提出的杂交复变量无单元Galerkin方法大幅度提高了无单元Galerkin方法求解三维问题的计算效率,将推动无网格方法的工程应用.