1736年,Euler发表了第一篇关于图论的学术论文,他在其中研究了哥尼斯堡七桥问题.从此,图论这门新的学科诞生了.从20世纪60年代开始,图论得到了迅猛的发展.同时,众多有趣的图论问题也应运而生,比如哈密尔顿问题,染色问题,连通性问题,匹配问题等等.随着图论的发展,它的成果也越来越多地应用于信息学,化学,社会学及自然科学等领域.时至今日,图论已经成为一门极其实用的学科.对于一个图G,如果G中存在一个包含其所有顶点的圈,那么G被称作是哈密尔顿图或者哈密尔顿的,这个圈叫作哈密尔顿圈,该概念是由数学家W.R. Hamilton先生作为一个数学游戏提出来的.哈密尔顿问题（判断一个图什么时候是哈密尔顿的）一直以来就是图论中的一个基本问题.由于哈密尔顿问题与四色定理,图的结构理论及极值理论有着密切的联系,同时,它在网络结构及复杂性理论等方面也有着广泛的应用,因此,从20世纪70年代开始,哈密尔顿问题得到了广泛地关注.因为判断一个图是否是哈密尔顿的是NP-完全的,所以寻找图的哈密尔顿性的充分条件就成为众多学者研究的主流方向.设G=（V（G）,E（G））是一个简单图,其中V（G）和E（G）分别表示G的顶点集和边集,V（G）的大小叫作G的阶数.对于G中的任一个顶点υ,它的度d（υ）指的是G中和u相邻的顶点的数目.d（u,u）表示顶点u和υ在G中的距离.令N1（υ）=N（υ）={u∈V（G）：d（u,υ）=1)且N2（υ）={u∈V（G）：d（u,υ）=2).基于度的定义,Zhu,Li和Deng引入了顶点υ的两种隐度id1（υ）和id2（υ）的定义.我们分别称id1（υ）和id2（υ）为υ的第一隐度和第二隐度.首先我们看一下顶点υ的第一隐度的定义.（a）如果N2（υ）≠（?）且d（υ）≥2,记M2=max{d（u）：u∈N2（u）).设d（υ）=l+1且d1≤d2≤d3≤≤dl≤dl+1≤是N1（υ）∪N2（υ）中顶点的度序列.令那么υ的第一隐度就定义成id1（υ）=max{d（υ）,d*（υ）).（b）如果N2（υ）=（?）或者d（υ）<2,那么定义id1（υ）=d（υ）.从定义中可以看出id1（υ）≥d（υ）.关于υ的第二隐度的定义,只需要将第一隐度定义中的d*（υ）变成如下形式即可.其中m2=min{d（u）：u∈N2（υ）)}.显然,id2（υ）≥id1（υ）≥d（υ）.在第二章第一节中,我们将在第二隐度条件下讨论图的哈密尔顿性Dirac在1952年首先证明了：如果一个阶数至少为3的图的每一个顶点的度都大于等于其顶点数的一半,那么这个图就是哈密尔顿的.这个结论称作Dirac定理,而结论中的条件叫作Dirac条件.此后,人们得到了各种各样和度有关的图的哈密尔顿性的充分条件,从而对Dirac定理进行了推广.Ore首先在1960年推广了Dirac定理,得到了下面这个结论：对于阶数n≥3的图G中任何两个不相邻的顶点υ和υ,如果d（υ）+d（υ）≥n,那么G是哈密尔顿的.我们把这个结论称作Ore定理,把结论中的条件称作Ore条件.在1980年,Bondy考虑了图中更多的非相邻顶点,从而把Ore定理进行了推广.他证明了：对于阶数n≥3的k-连通图G中的任何k+1个独立点,如果它们的度和大于（k+1）（n-1）/2,那么G是哈密尔顿的.在第二章第一节中,我们在第二隐度条件下对Bondy的这个结论进行了推广,证明了：对于阶数n≥3的.k-连通图G中的任何k+1个独立点,如果它们的第二隐度和大于（k+1）（n-1）/2,那么G是哈密尔顿的.设X是图G的一个顶点子集.如果在G中存在一个圈包含X中的所有顶点,那么称X在G中是可圈的.若我们取X=V,（G）,那么X在G中是可圈的就等价于G是哈密尔顿的,因此可以把哈密尔顿问题看作是可圈问题的一种特殊情况.在第二章第二节中,我们将在第一隐度条件下研究图的可圈性.Ota考虑了Ore类型条件下图G中任何一个顶点子集X的可圈性.从而推广了Ore定理.在2005年,Flandrin, Li, Marczyk和Woiniak在所谓的局部Ore条件下推广了Ota的结论.在第二章第二节中,我们在第一隐度条件下对Flandrin等的结论进行了推广确切地说,我们得到了下面的结果：设Xi,i=1,2,,k,是k-连通图G的顶点子集且X=Ui=1/k,xi.如果对于每一个Xi中的每一对非相邻的顶点u和υ,它们的第一隐度和都大于等于G的阶数,那么X在G中是可圈的.对于图G中的每一条边e,如果我们给它赋上一个非负数ω（e）,那么G就称作赋权图,ω（e）称作e的权.G中的顶点u的权度dω（u）是指与u关联的边的权和.对于G的子图H,H的权为H中所有边的权和,记为ω（H）.一个非赋权图可以看成是所有边的权都是1的赋权图.受第二隐度定义的启发,在赋权图中,Li给出了顶点u的隐权度idω（u）的定义且满足idω（υ）≥dω（u）,只需将第二隐度的定义直接推广到赋权图上就得到了这个定义.在第三章中,我们将在隐权度的条件下考虑赋权图中重圈（权较大的圈）的权.2001年Zhang, Li和Broersma说明了一些2-连通赋权图中重圈C的权的下界.在第三章中,我们在隐权度条件下得到了类似的结果,从而对他们的结论进行了推广容错性问题是网络中一个很重要的课题.在第四章中,我们将考虑这方面的问题.在2009年,Hu和Li讨论了图去掉一些匹配后的哈密尔顿性.受这个结论的启发,我们在Ore条件下对这个结果进行了推广：若图G满足Ore条件,子图H（?）G满足最大度△（H）≤2以及边集E（H）的大小为k,我们证明了下面两个结论：（1）如果G-E（H）是2-连通的并且n≥4k+3,那么,除了一些反例外,G-E（H）是哈密尔顿的.（2）如果G-E（H）是2-连通的,n≥2k+5并且H是一个圈,那么除了一些反例外,G-E（H）是哈密尔顿的.