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与特殊函数有关的函数论问题越来越受到数学家们的重视，是一个非常活跃的研究领域，其中的典型问题有Jacobi级数，Laguerre级数，Hermite级数，Hankel变换以及近年来才发展起来的R中带有反射不变测度的Dunkl变换等．这些问题既是经典函数理论的广泛推广，在特殊参数下又与李群和对称空间中的分析问题密切相关．但是由于特殊函数的性质比三角多项式复杂得多，在这些问题研究中会遇到许多实质性的困难，比如相应的广义平移和广义卷积运算的复杂性等，同时也衍生出一些有价值的新问题．
共轭函数(Riesz变换或Hilbert变换)是分析领域的重要概念和工具之一．自B．Muckenhoupt和E．Stein于1965年研究共轭超球级数以来，与特殊函数有关的“共轭”问题，比如共轭Laguerre级数，共轭Hermite级数，共轭Jacobi级数等，成为相关领域中的重要课题，取得了一系列研究成果，例如Muckenhoupt[1969]，[1970]，Thangavelu[1990]，[1993]，Cosselin-Stempak[1994]，Li[1996]，Nowak[2004]，Graczyk[2005]等．
本文主要研究与共轭Jacobi级数和共轭Laguerre级数相关的几个问题，取得了一些有重要价值的研究成果，同时还研究了矩阵形式的Laguerre多项式的Sobolev正交性．本文的具体成果有如下四个方面：
·研究函数按照与Jacobi多项式相“共轭”的基底的展开问题，定义了相应的广义平移和广义差分算子．利用共轭基函数的特征微分算子对相应的Jacobi-Poisson积分的作用给出了按照广义平移描述的 ((-1，1))空间中的Lipschitz函数的特征刻划；并通过相应的Poisson积分的一阶导数给出了按照广义差分描述的 ((-1，1))空间中的Lipschitz函数的特征刻划．
·研究了Jacobi级数的(C，δ)平均和Abel-Poisson平均的饱和问题，利用相应于Jacobi级数的共轭函数的加权Lipschitz性质刻划了Jacobi级数的(C，δ)平均和Abel-Poisson平均的饱和类，从而对Jacobi级数建立了Alexits-Zamansky型定理．这是Butzer等人关于Legendre级数的推广，且不同于Bavinck的关于Jacobi级数的结果以及Horváth的饱和定理．
·通过引入与Laguerre级数相应的广义差分算子T<,y>和核函数G(y)，给出共轭Laguerre级数的主值积分表示．证明了广义差分T<,y>在某种范数意义下的有界性并可用来描述函数的光滑性．通过建立核函数G(y)的一系列估计式，证明了在某种范数或点态意义下，利用主值积分所定义的函数，f的(Laguerre-)共轭函数与利用共轭(Laguerre-)Poisson积分，f(x，y)所定义的共轭函数是一致的．
·通过找出适当的带有导数的矩阵矩量泛函，证明了关于具有负的非整数特征值的参数矩阵的Laguerre矩阵多项式在此泛函意义下的Sobolev正交性；给出关于具有负整数特征值的可对角化参数矩阵的Laguere矩阵多项式的适当定义，并证明这种推广的Laguerre矩阵多项式关于上述泛函也具有Sobolev正交性．