艺术画廊问题来源于实际生活，与简单多边形三角剖分是密不可分的，多年来，已经引起越来越多的研究者的关注.现如今，它在现实生活许多领域中都有着重要的应用.因为艺术画廊4-染色方法可以减少大部分简单多边形需要的看守数目，因此，无论在理论上还是在实际应用中，对其研究都具有重要的意义. 本文主要在3-染色的基础上研究艺术画廊4-染色问题，以及联合看守问题中一类特殊简单多边形的联合看守上限问题. 首先，在艺术画廊看守问题中，因为对绝大多数的简单多边形来说，由3-染色方法得到的结果并不是最优的.所以，本文根据三角剖分与二叉树的对应关系，通过分析三角剖分中两相邻三角形的邻接关系，利用染色的方法，提出4-染色方法以及4-染色规则，并对4-染色后的情况进行了分析与说明.得出任一类颜色的点覆盖整个简单多边形的条件、至少一类颜色的点覆盖整个简单多边形的条件，以及对不能覆盖产生的原因进行分析. 其次，在联合看守问题中，Michael得出了联合看守集合的上限应为[3n-l/7 ].本文通过对Michael证明过程以及相关结论的分析，首先将一个三角剖分Tn划分为两个三角剖分然后对三角剖分Tm进行分析，最后利用归纳法，对一类特殊的简单多边形，即简单多边形三角剖分的对偶图为链状的情况，证明了联合看守集合至少需要[2n/5]个联合看守.