近年来,非局部微分方程的研究受到了各领域广泛的关注.其中,非局部微分方程的高精度数值方法的研究,在计算数学与应用数学领域一直是一个前沿热点课题.本文基于这样的研究背景,讨论了一类高效数值方法,即,周线积分方法(CIM).其中,研究了周线积分方法的诞生和研究现状,阐述了周线积分方法的数学机理,对现有的积分周线进行了分类整理,并针对每一种积分周线的参数的选取进行了汇总.基于前面的工作,本文首先使用周线积分方法求解了具有代表性的一个标量方程和时间分数阶扩散方程;在求解的过程中选用了文中涉及到的六类积分周线,数值结果展现了周线积分方法的良好数值效果,并以此作为本文的一个序幕.并在给定条件下,通过对比周线积分方法在不同周线下对应的数值效果,定性地确定了本文使用的积分周线.接下来,本文主要讨论了使用周线积分方法求解多个内部状态的FeynmanKac方程.由于多个内部状态的Feynman-Kac方程是最近新建立起来的,在高效数值方法求解方向是空白的,因此研究该方程的高效数值方法变得显然;该方程含有分数阶物质导数,该算子是时空耦合算子,对精确求解带来困难.因此,本文对两个内部状态的Feynman-Kac方程进行了正则性分析,得到该方程在原点的奇异性.构建了两个内部状态的Feynman-Kac方程的CIM格式,并给出了严格的误差分析.本文进行了数值实验,构建了两个内部状态的Feynman-Kac方程的预估-校正格式,取步长充分小,并以该解作为精确解与CIM格式得到的数值解进行了比较,实验结果进一步地验证了CIM格式的高效性.最后,对本文的研究工作进行了展望和总结.