李超代数,作为李代数的自然推广,是李理论的一类重要研究对象.由于李超代数在物理中的超对称问题方面有着重要的应用,故其研究成为了现代数学中的一个重要课题.在李超代数的研究中,李超代数上同调和形变理论是近年来许多学者关心的重要研究课题.本文旨在研究几类李超代数的上同调与形变理论.给定一个李超代数的模,我们可以定义李超代数的系数取自于这个模的上链,上循环,上边缘和上同调.特别地,上同调空间的维数称为Betti数.由于李超代数的上同调理论在现代数学与物理学中有着许多的应用,其研究为许多学者所关注.通过模上的一个运算,Musson引入了cup积的定义,其分别在上链空间和上同调空间上诱导了Z-阶化超代数结构.Cup积与Betti数的刻画是李超代数上同调研究中的两个重要的研究问题.对于一个李超代数来说,平凡表示和伴随表示是其最常见的两类表示.李超代数的系数取自于平凡模和伴随模的上同调,分别称为平凡上同调和伴随上同调.这两类上同调的研究是近年来,许多学者关注的研究课题.在平凡上同调的情形,域的乘法通过cup积的方式在其上链空间和上同调空间上诱导了有单位元的阶化超交换的超结合代数结构.类似于李代数的情形,李超代数的系数取自于平凡模的上链空间关于cup积作成的超结合代数同构于由其对偶超空间生成的超外代数.通过这一同构,Leites在素特征的域上,引入了除幂代数和除幂上同调的定义.与平凡上同调的情形不同,除幂上链空间和除幂上同调空间总是有限维的.在伴随上同调的情形,由于李超代数的无穷小形变的等价类与二阶上同调的偶的同调类一一对应,故我们可以通过计算2-上同调的偶部的方式,刻画李超代数的单参量的形式形变.值得注意的是,不同于李代数的情形,奇的2-上循环并不能用来构造形式形变.因此,在计算李超代数的形式形变时,我们只需考虑偶的情形.本文旨在研究几类李超代数的平凡上同调,伴随上同调和除幂上同调.其中,包括线状李超代数,二步幂零李超代数和度量李超代数.约定基域F为特征不为2,3的代数闭域.在研究平凡上同调和伴随上同调时,约定char F=0;在研究除幂上同调时,约定char F=p>3.1970年,Vergne在研究幂零李代数簇的可约性时,引入了线状李代数的概念并且指出每一个线状李代数都可以通过模型线状李代数Ln的一个无穷小形变得到.随后,这一概念被推广到了李超代数的情形,称为线状李超代数.Gilg在研究幂零李超代数时,引入了超幂零指数的概念.具有极大的超幂零指数的幂零李超代数即为线状李超代数.完全类似于李代数的情形,每一个线状李超代数都可由模型线状李超代数Ln,m的一个无穷小形变得到.因此,Ln,m成为了一个重要的研究对象.在分类方面,Gilg在复数域上研究低维线状李超代数的分类.在上同调方面,Navarro等人计算了模型线状李超代数Ln,m的二阶伴随上同调的偶部,从而完全描述了其无穷小形变.然而,线状李超代数的平凡上同调尚无一般的研究结果.在本文的第三章,我们将研究线状李超代数的平凡上同调和除幂上同调.其中,包括模型线状李超代数和低维的线状李超代数.给定一个辛空间上的辛形,我们可以定义它的Heisenberg李代数.它是带有一维中心的二步幂零李代数.由于其在量子力学的交换关系中的应用,Heisenberg李代数成为了现代数学中的一个重要研究对象.2011年,Rodríguez-Vallarte,Salgado和Sánchez-Valenzuela通过研究其超对称性,将Heisenberg代数的概念推广到了李超代数,称之为Heisenberg李超代数,即带有一维中心的二步幂零李超代数.根据中心的奇偶性,Heisenberg李超代数可以分为偶中心Heisenberg李超代数h2m,n和奇中心Heisenberg李超代数ban.在幂零李超代数中,一步幂零的李超代数即为带有平凡乘法的Abel李超代数,其平凡上同调和伴随上同调的结果可由其上链的上边缘算子的平凡性直接得出.因此,二步幂零李超代数的研究对于一般的幂零李超代数的研究有着重要的借鉴意义.李超代数的乘法通过cup积的方式可诱导出伴随上同调上的一个超代数结构.与平凡上同调的情形不同,这一乘法并不总是结合的.在本文的第四章,我们将在cup积和Betti数两个方面对二步幂零的李超代数的伴随上同调进行研究.首先,我们给出cup积平凡性的一个判别准则.作为应用,我们得到Heisenberg李超代数的伴随上同调上的cup积是平凡的.接着,我们通过Hochschild-Serre谱序列描述二步幂零李超代数的伴随上同调的Betti数.特别地,我们通过Heisenberg李超代数的平凡上同调的Betti数的相关结论,得到其伴随上同调的Betti数公式.度量李超代数是指一类带有偶的,非退化,超对称的,不变的双线性型的李超代数,其可看作是半单李代数在李超代数中的一种推广.对于一个度量李超代数来说,从一个度量的无穷小形变出发,我们可以构造出一个度量形变.在本文的第五章,我们将通过这种方法,研究复数域上所有不超过6维的度量李超代数的度量形变.