很多科学与工程计算的模型问题,经过有限差分、有限元或矩量法等方法的离散化以后,最终需要求解一个或者一系列大型稀疏矩阵的线性系统。目前Krylov子空间方法是求解大规模稀疏线性方程组的首选方法。在泛函分析的背景下研究Krylov子空间方法,是分析和研究迭代方法的一种新思路。有限元算子是无限维Hilbert空间上的算子在其有限维子空间上的限制,确保了在Hilbert空间的背景下进行研究的合理性。很多研究者在Hilbert空间和其他可能的无穷维抽象空间背景下来分析迭代方法,得到了很好的效果。Bank和Dupont把有限差分技术放在适用于有限元的抽象框架背景中进行研究。Kirby在泛函分析的背景下来研究偏微分方程有限元离散的条件数、预处理技术以及迭代方法。本文借鉴从泛函分析角度研究迭代法与预条件处理技术的新视角,主要涉及求解大规模线性系统的Krylov子空间方法的泛函分析。首先,在泛函分析的背景下,重点是在Hilbert空间中对预处理的广义CG方法的泛函分析做了相关阐述,主要关注完整版广义CG算法与控制项为零的截断版算法的一致性,并用系数算子的对称部分进行预处理,证明了预处理的完整版广义CG算法与控制项为零的截断版算法的一致性。其次,作为泛函分析迭代方法理论的具体应用,以椭圆型方程为例,从Lax-Milgram引理的连续性、强制性角度证明了椭圆型方程解的存在唯一性,并应用预处理的广义CG方法在Hilbert空间中对其进行了相关分析,证明了完整版算法与控制项为零的截断版算法的一致性,且给出了相关的条件数估计。最后,从数值实验的角度分别对一维和二维对流扩散方程的边值问题进行了研究,给出了方程数值解的图形表示,并比较了截断版广义CG方法与预处理截断版广义CG方法的收敛速度,证明了预处理截断版广义CG方法的优越性。