在过去几十年中，经典的Laplace方程理论得到了充分的发展。这一类偏微分方程在数学、物理、化学、生物、工程、材料等许多领域都有着重要的应用。Laplace方程能够很好地解释很多实际问题中的扩散现象，然而却不能解释许多反常扩散现象，为此发展出了分数阶Laplace方程。　　分数阶Laplace算子是Laplace算子的一种推广，继承了Laplace算子的一些重要的性质，例如有界线性性、自共轭性等，这为分数阶Laplace方程的研究提供了方便。然而，与Laplace算子不同，分数阶Laplace算子是一种非局部拟微分算子，这为相关问题的研究造成了实质性的困难。　　在本文中，以分数阶Sobolev空间为背景，利用分数阶Laplace算子的性质，研究几类非线性分数阶Laplace方程解的存在性、多重性及分歧性。　　首先，对一类带有不定非线性项的分数阶Laplace方程进行研究。通过应用一个基本不等式，得到相应的弱极值原理；利用弱极值原理，得到该方程的上下解方法；通过复杂的分析技巧，建立该方程对应的Hopf引理；利用分数阶Laplace算子的谱理论，得到参数应满足的条件；运用方程的上下解方法，证明使得方程有解的所有参数构成一个区间；通过相应的约束极值问题，得到该参数区间的左端点是分数阶Laplace算子的第一特征值。　　其次，对一类非齐次半线性分数阶Laplace方程正解的存在性进行研究。通过分析技巧，得到相应的弱、强极值原理；类似于Laplace方程，给出该方程非负解的先验估计和正则性分析；将Lions的集中紧致原理推广到分数阶Laplace方程的情形；将方程解的存在性归结为相应泛函临界点的存在性；利用Ekeland变分原理，得到方程正解的存在性；再利用上下解迭代的方法，得到方程极小正解的存在性，并给出极小正解关于参数的单调性。　　最后，继续讨论上面非齐次半线性分数阶Laplace方程正解的多重性及分歧性。在上面得到的极小正解的基础上，将该方程第二个正解的存在性归结为相应泛函临界点的存在性；通过添加特定的条件，得到该泛函的一个Aubin型估计；得到该泛函对应的集中紧致原理；再利用山路引理，得到方程第二个正解的存在性；通过添加凸性，得到方程在参数的临界值处有唯一的正解；然后将该临界值和唯一正解组成原点对，利用Crandall和Rabinowitz的分歧定理，得到方程在该原点对邻域内的分歧性质；将方程所有正解看成一个集合，给出该集合的一些性质。　　本文得到的结果是相应的Laplace方程结论的推广。然而，从本文结论的证明过程可以看出，分数阶Laplace方程的讨论与Laplace方程有着明显的不同。