【摘 要】
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如今非线性现象越来越多的出现在自然科学与社会科学中,用来描述该现象的微分方程受到相关数学家和物理学家的关注.本文主要研究了几个偏微分方程的非局部对称和守恒律以及精确解.包括两分量μ-Camassa-Holm方程,带有色散项γux的μ-Camassa-Holm方程,Foursov方程,复Camassa-Holm方程.本文还考虑浅水波方程3×3的谱问题,构造了Degasperis-Procesi方程和
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如今非线性现象越来越多的出现在自然科学与社会科学中,用来描述该现象的微分方程受到相关数学家和物理学家的关注.本文主要研究了几个偏微分方程的非局部对称和守恒律以及精确解.包括两分量μ-Camassa-Holm方程,带有色散项γux的μ-Camassa-Holm方程,Foursov方程,复Camassa-Holm方程.本文还考虑浅水波方程3×3的谱问题,构造了Degasperis-Procesi方程和Novikov方程的无穷多守恒律,证明了Degasperis-Procesi方程和Novikov方程没有依赖其拟势函数的非局部对称.本文主要内容如下：首先,主要介绍了所研究方程的背景,以及研究非局部对称和求精确解所用的基本理论和方法.其次,我们研究了两分量μ-Camassa-Holm方程的非局部对称和守恒律.该方程是两分量Camassa-Holm方程的一个short-wave极限.先从该方程的几何可积性出发,得到方程的拟势函数进而构造方程的守恒律,并且得到方程无穷多守恒律.其次,根据这个方程仅有平凡的李对称和方程特殊结构,我们研究了它的非局部对称.最后,得到两分量μ-Camassa-Holm方程依赖其势函数的非局部对称.然后考虑带有低阶色散项γux的μ-Camassa-Holm方程,从该方程Lax对出发,借助其波函数,构造方程拟势函数,利用所得的拟势函数得到守恒律以及无穷多守恒量,进而运用李对称方法得到该方程依赖拟势函数的非局部对称.修正的μ-Camassa-Holm方程是作为修正Camassa-Holm方程非局部形式提出来的,从该方程几何可积性出发,求出拟势函数,进一步构造无穷多守恒律,并且证明该方程不具有依赖拟势函数的非局部对称.短脉冲方程是包含一阶线性项ux的修正μ-Camassa-Holm方程的伸缩极限方程,本章最后得到该方程的拟势函数,无穷多守恒律.第三,运用不变子空间的方法结合广义条件对称方法研究b-family系统的精确解.这种解是由三维的不变子空间生成,对应于方程的一类广义条件对称,其中系数依赖于时间的函数满足Emden方程,通过对Emden方程解的结构进行分析得到了方程解的结构,给出了解整体存在性和爆破条件,进而对解的结构给出完整的刻画.然后研究对偶Foursov方程的尖峰孤子解.先得到方程的弱形式,然后利用方程的弱形式证明该方程具有尖峰孤子解.最后讨论复Camassa-Holm系统,这类系统可以从Mobus几何曲线流中得到,我们证明了该方程具有尖峰孤子解.第四,考虑Degasperis-Procesi方程和Novikov方程的无穷多守恒律以及非局部对称,Degasperis-Procesi方程和Novikov方程是典型的具有3×3谱问题的波方程,以构造2×2谱问题方程的非局部对称和守恒律的方法为基础扩展到3×3谱问题的方程.先构造出Degasperis-Procesi方程的两个势函数和两个拟势函数,进一步通过势函数做幂级数展开,比较相同普参数λ的系数达到无穷多守恒律,最终运用李对称方法得到该方程的超定方程组,对方称组分析得到Degasperis-Procesi方程不具有依赖其拟势函数的非局部对称.同样对于Novikov方程,求出其势函数和拟势函数,对势函数进行同样处理,得到无穷多守恒量,最后,知道该方程组不具有依赖其势函数的非局部对称.最后,对尚待解决的问题进行了讨论.
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